Se encontraron 312 coincidencias

por BrunZo
Lun 01 Mar, 2021 6:33 pm
Foro: Geometría
Tema: Más trazos, menos trigonometría
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Re: Más trazos, menos trigonometría

Muy bello (Perdón por no poner imagen, el lector interesado podrá imaginarse fácilmente la figura) Sea $E$ el punto en $BD$ tal que $AD=AE$. Por esto último, vale que $A\hat{E}D=A\hat{D}E=8x$, por lo que $B\hat{A}E=A\hat{E}D-A\hat{B}E=8x-4x=4x$, de donde $AD=AE=BE$. Sea $F$ tal que $CF=DF=AE=BE$. Co...
por BrunZo
Lun 01 Mar, 2021 6:06 pm
Foro: Geometría
Tema: Otro de geometría
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Re: Otro de geometría

Bellísimo No como mi solución, que es horrible geogebra-export.png Bueno, la clave va a estar en el siguiente lema conocido: Lemote: En un triángulo $ACD$, sean $B$ y $M$ en $AD$ los puntos de contacto del incírculo y el excírculo correspondiente. Entonces, $CB$ contiene al reflejo de $M$ por el inc...
por BrunZo
Jue 25 Feb, 2021 5:52 pm
Foro: Geometría
Tema: Ángulos en 1:2:4 y CD=2AB
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Re: Ángulos en 1:2:4 y CD=2AB

No estaba tan seguro si subir esto hasta que el Turko hizo lo que hizo. Al fin y al cabo, es solo una reducción de la solución de Joa (que también está muy buena!) El problema es raro, sí... lo más raro de todo es la posición de los ángulos de $4\alpha$ y $2\alpha$ (llamo $\alpha$ al $A\hat{C}B$). E...
por BrunZo
Mié 24 Feb, 2021 7:57 pm
Foro: Algebra
Tema: Desigualdad con mínimos
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Desigualdad con mínimos

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1, a_2, \dots, a_n$ y $b_1, b_2, \dots, b_n$ reales no negativos. Demostrar que $$\sum_{1\leq i,j\leq n}{\min\,\{a_ia_j,\, b_ib_j\}}\leq \sum_{1\leq i,j\leq n}{\min\,\{a_ib_j,\, a_jb_i\}}$$ donde $\min\,\{x,\, y\}$ denota al menor número entre $x$ e $y$. Nota : L...
por BrunZo
Mié 24 Feb, 2021 7:55 pm
Foro: Geometría
Tema: Dos polígonos regulares intersecados, probar que la mitad de las diagonales concurren.
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Dos polígonos regulares intersecados, probar que la mitad de las diagonales concurren.

Los lados de un $200$-ágono convexo $A_1A_2A_3\dots A_{200}$ se colorean alternadamente de rojo y azul. Supongamos que las extensiones de los lados azules definen un $100$-ágono regular, y las de los rojos también. Probar que las cincuenta diagonales $A_1A_{101}, A_3A_{103}, A_5A_{105},…, A_{99}A_{1...
por BrunZo
Mié 24 Feb, 2021 7:53 pm
Foro: Algebra
Tema: Ordenar los naturales tal que suma de consecutivos sea cuadrado
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Ordenar los naturales tal que suma de consecutivos sea cuadrado

Determinar si existe una permutación de los enteros positivos tal que la suma de cualesquiera dos elementos consecutivos sea un cuadrado perfecto. Nota : Una permutación de los enteros positivos es cualquier sucesión infnita $a_1,a_2,a_3,...$ tal que para todo $k$ entero positivo existe un único $i$...
por BrunZo
Mié 24 Feb, 2021 7:51 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Rey de ajedrez se mueve por casillas verdes
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Rey de ajedrez se mueve por casillas verdes

Sea $n$ un entero positivo impar, y supongamos que en un tablero de $n\times n$ hay un rey de ajedrez que se desplaza como indican las reglas. Algunas casillas se pintan de verde. Supongamos que se puede ir de cualquier casilla verde a cualquier otra pasando solo por casillas verdes. Demostrar que e...
por BrunZo
Mié 24 Feb, 2021 7:49 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Sucesión contiene a todos los múltiplos de 3 exactamente una vez
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Sucesión contiene a todos los múltiplos de 3 exactamente una vez

Consideremos una sucesión infinita de enteros positivos $a_1, a_2, a_3,\dots$ que satisfaga las siguientes dos condiciones: $a_n\leq 3n$, para todo entero positivo $n$. $v_2\,(a_m+a_n)=v_2\,(m+n)$ para cualesquiera $m$ y $n$ enteros positivos. Probar que todo múltiplo de $3$ aparece exactamente una ...
por BrunZo
Mié 24 Feb, 2021 7:47 pm
Foro: Geometría
Tema: Ángulos en 1:2:4 y CD=2AB
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Ángulos en 1:2:4 y CD=2AB

Sea $ABC$ un triángulo. Supongamos que existe un punto $D$ en el lado $AC$ tal que $CD=2AB$ y
$$B\hat{A}C=2\cdot D\hat{B}C = 4\cdot A\hat{C}B.$$
Hallar la medida de los ángulos del triángulo $ABC$.
por BrunZo
Jue 18 Feb, 2021 2:20 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

No estoy listo como para postear un 192, así que mejor dejo un epílogo: (acabo de notar que Ianoni ya subió su problema jajaja, pero bueno, nunca viene mal) Problema 191++ Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle BAD=90^{\circ}$ y $BCD$ sea equilátero. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $...