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Joacoini escribió: ↑

Sab 16 Nov, 2019 10:19 pm

Y si $AB=AC$?

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El lema sigue valiendo... $P=A$ y $L=M$, por lo que $AL\parallel PM$.

Solución: Por AM-HM con pesas, tenemos que: $$\sum_{i=1}^{n}{\frac{a_i^2}{a_i+b_i}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{a_i\cdot \frac{a_i}{a_i+b_i}}}{\sum_{i=1}^{n}{a_i}}\geq \frac{\sum_{i=1}^{n}{a_i}}{\sum_{i=1}^{n}{a_i\cdot \frac{a_i+b_i}{a_i}}}=\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}{a_i+b_i}}=\frac{1}{2}$$ Con igualdad si y...

Ejemplo: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \blacksquare & \blacksquare & & & \blacksquare & \blacksquare & & & \blacksquare \\ \hline & & & & & & & & \blacksquare \\ \hline & & \blacksquare & \blacksquare & & & \blacksquare & & \\ \hline \blacksquare & & & & & & \blacksquare & & \\ \hline...

Solución: Lema: Sea $ABC$ un triángulo con $AC>AB$. Sean $M$ el punto medio de $BC$ y $P$ en $AC$ tal que $BA+AP=PC$. Entonces, $MP$ es paralela a la bisectriz de $\angle BAC$. Demostración: Sea $L$ el pie de esta bisectriz. Sea $X$ en la recta $CA$ tal que $AX=AB$. Luego, $\angle AXB=\angle ABX=\f...

Solución: Digo que el menor $n=29$. Para probar que $n\geq 29$, si $n$ fuese $28$ o menos, tomamos el siguiente ejemplo: $$A=\{2, 5, 7, 10, 15, 17, 20, 22, 25, 28\}$$ $$B=\{3, 8, 11, 13, 16, 18, 21, 23, 26\}$$ $$C=\{1, 4, 6, 9, 12, 14, 19, 24, 27\}$$ Removiendo los números que sea necesario (por ej...

Solución: Asumamos que $n$ es positivo, ya que si no el problema no tiene sentido. Supongamos que luego de la primera jugada resultan los números $x$, $y$ y $x-y$. Si escribimos $a=x-y$, $b=y$, podemos escribir a los tres números como $$a,\quad b,\quad a+b$$ Sin pérdida de generalidad, $a\leq b\leq...

Gabriel hace una lista de números con el siguiente procedimiento: el primer número es $2004$; el segundo lo elige Gabriel; el tercero es la resta del primero menos el segundo; el cuarto es la resta del segundo menos el tercero; el quinto es la resta del tercero menos el cuarto, y así siguiendo, cada...

Nico ordena los números enteros del $1$ al $21$ inclusive y luego Pablo elige $4$ números que estén consecutivos de la lista de Nico. Nico debe pagarle a Pablo una cantidad de pesos igual a la suma de los 4 números que eligió Pablo. Determinar la menor cantidad de dinero que deberá pagar Nico y cómo...

Una empresa aérea tiene $9$ aviones todos de distintos modelos y $13$ pilotos. Entrenar a cada piloto para pilotear en cada avión cuesta $\$1000$. Cada día se sortean $9$ de los pilotos para que piloteen los aviones y los otros $4$ tienen el día libre. Hallar la mínima cantidad que se debe invertir ...

Un reloj digital que da la hora y los minutos desde las $00:00$ hasta las $23:59$, siempre muestra $4$ dígitos. Determinar durante cuánto tiempo, a lo largo de $24$ horas, el reloj exhibe por lo menos un $1$ pero ningún $2$ o exhibe por lo menos un $2$ pero ningún $1$.