Se encontraron 269 coincidencias

por BrunZo
Vie 25 Sep, 2020 12:02 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Pretorneo de las ciudades, año 1995. Problema 2 (nivel mayor)
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Re: Pretorneo de las ciudades, año 1995. Problema 2 (nivel mayor)

¿Y esto? Consideremos una grilla cuadriculada, uno de cuyos cuadrados es el cuadrado inicial. Notemos que reflejar uno de los puntos de esta grilla por cualquier otro punto, devuelve un tercer punto EN la grilla, de modo que las pulgas se mueven siempre por puntos de la grilla. Ahora bien, supongamo...
por BrunZo
Jue 24 Sep, 2020 12:21 pm
Foro: Combinatoria
Tema: IMO 2020 Problema 3
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Re: IMO 2020 Problema 3

Yo creo que la magia del problema está en lo siguiente: Yo digo que una pareja es un par de enteros de la forma $(i, 4n+1-i)$ con $1\leq i\leq 2n$. Notemos que la suma de los elementos de toda pareja es la misma, $4n+1$, entonces, si por algún motivo extraño, pudiésemos partir a los números en dos ...
por BrunZo
Mar 22 Sep, 2020 8:14 pm
Foro: Combinatoria
Tema: IMO 2020 Problema 3
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Re: IMO 2020 Problema 3

Ahora, notemos que los 4 periodos tienen la misma cantidad de piedrias de $n$ colores distintos, ¿Por qué? Si no te estoy malinterpretando, tu argumento es: Tomo las primeras n y las últimas n. Su suma es tanto. Tomo las 2n del medio. Su suma es tanto. Ambas sumas son iguales, así que se cumple la ...
por BrunZo
Mar 22 Sep, 2020 7:39 pm
Foro: Algebra
Tema: IMO 2020 Problema 2
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Re: IMO 2020 Problema 2

Más allá de lo poco estético y poco amigable que sea el problema, creo que en el fondo tiene buenas ideas... Vamos a partir la solución en dos grandes pasos: El primero va a ser una simplificación del enunciado y el segundo va a ser la solución propiamente dicha. Primero lo primero y dicho sin ambag...
por BrunZo
Vie 18 Sep, 2020 11:02 pm
Foro: Geometría
Tema: Triángulo simple
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Re: Triángulo simple

Pero... Sea $A'$ tal que $ABA'$ es equilátero (y nos robamos el dibujo de Gianni). Sabemos entonces que $A'$ es el circuncentro de $ABD$ (por ángulo central), luego $A'A=A'B=A'D=AB$ y además $\angle AA'D=2\alpha$ (otra vez ángulo central). Por otro lado, es claro que $\angle ABC=\angle ADB=150^{\cir...
por BrunZo
Vie 18 Sep, 2020 10:00 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Pretorneo de las Ciudades - Nivel Juvenil - Problema 3
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Re: Pretorneo de las Ciudades - Nivel Juvenil - Problema 3

Yo digo que el mínimo número de dólares a gastar es $50$. Veamos primero que con $50$ dólares se puede invertir el orden. Primero que nada, vamos a hacer lo siguiente: Cambiamos el $1$ con el $5$, el $2$ con el $6$, el $3$ con el $7$, y el $4$ con el $8$. Entonces, el bloque $1,2,3,4$ intercambió p...
por BrunZo
Jue 17 Sep, 2020 8:03 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Pretorneo de las Ciudades - Nivel Mayor - Problema 1
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Re: Pretorneo de las Ciudades - Nivel Mayor - Problema 1

Ya que estamos, digamos que tenemos $n$ cuadrados perfectos alrededor de la circunferencia y queremos que cualesquiera $p$ consecutivos cumplan que su suma es divisible por $p^2$, dado que $p$ y $n$ son coprimos (y obviamente $p<n$). Supongamos que llamamos a los números alrededor de la circunferen...
por BrunZo
Mar 15 Sep, 2020 11:03 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Primer Pretorneo 2017 NM P2
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Re: Primer Pretorneo 2017 NM P2

A ver si no me equivoqué en nada... Yo digo que el máximo número de isósceles es $150$. En general, primero mostraríamos un ejemplo y luego veríamos que en efecto no se puede con más triángulos, pero en este caso creo que hacer primero la cota será más conveniente. Para esto, llamamos $P$ al punto f...
por BrunZo
Vie 12 Jun, 2020 7:00 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: XXXIV T. I. de las Ciudades Otoño 2012 N Juvenil Problema 4
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Re: XXXIV T. I. de las Ciudades Otoño 2012 N Juvenil Problema 4

geogebra-export.png Veamos que si $I$ es el incentro de $XYZ$, entonces el triángulo es equilátero. Notemos que $\angle AIZ=\frac{1}{2}\angle AIB$; $\angle CIX=\frac{1}{2}\angle BIC$, y $\angle CIY=\frac{1}{2}\angle CIA$; por lo que estos tres ángulos suman la mitad de una vuelta completa, es decir...
por BrunZo
Lun 08 Jun, 2020 6:48 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 4
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Re: COFFEE "Ariel Zylber" - Problema 4

Es la primer solución de ecuaciones funcionales que subo... a ver qué onda :) ... De nuevo, hay dos opciones $a)$ $f(x)=0$ Verificamos la ecuación original: $$f(x)f(y)+yf(x)+xf(x+y)=0=f(x2+xy)$$ $b)$ $f(−x)=x$ Luego, para cada $x$ hay un $z$ real tal que $z=−x$, luego $f(−(−x))=f(x)=−x$ Verificamos...