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Muy bello (Perdón por no poner imagen, el lector interesado podrá imaginarse fácilmente la figura) Sea $E$ el punto en $BD$ tal que $AD=AE$. Por esto último, vale que $A\hat{E}D=A\hat{D}E=8x$, por lo que $B\hat{A}E=A\hat{E}D-A\hat{B}E=8x-4x=4x$, de donde $AD=AE=BE$. Sea $F$ tal que $CF=DF=AE=BE$. Co...

Bellísimo No como mi solución, que es horrible geogebra-export.png Bueno, la clave va a estar en el siguiente lema conocido: Lemote: En un triángulo $ACD$, sean $B$ y $M$ en $AD$ los puntos de contacto del incírculo y el excírculo correspondiente. Entonces, $CB$ contiene al reflejo de $M$ por el inc...

No estaba tan seguro si subir esto hasta que el Turko hizo lo que hizo. Al fin y al cabo, es solo una reducción de la solución de Joa (que también está muy buena!) El problema es raro, sí... lo más raro de todo es la posición de los ángulos de $4\alpha$ y $2\alpha$ (llamo $\alpha$ al $A\hat{C}B$). E...

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1, a_2, \dots, a_n$ y $b_1, b_2, \dots, b_n$ reales no negativos. Demostrar que $$\sum_{1\leq i,j\leq n}{\min\,\{a_ia_j,\, b_ib_j\}}\leq \sum_{1\leq i,j\leq n}{\min\,\{a_ib_j,\, a_jb_i\}}$$ donde $\min\,\{x,\, y\}$ denota al menor número entre $x$ e $y$. Nota : L...

Los lados de un $200$-ágono convexo $A_1A_2A_3\dots A_{200}$ se colorean alternadamente de rojo y azul. Supongamos que las extensiones de los lados azules definen un $100$-ágono regular, y las de los rojos también. Probar que las cincuenta diagonales $A_1A_{101}, A_3A_{103}, A_5A_{105},…, A_{99}A_{1...

Determinar si existe una permutación de los enteros positivos tal que la suma de cualesquiera dos elementos consecutivos sea un cuadrado perfecto. Nota : Una permutación de los enteros positivos es cualquier sucesión infnita $a_1,a_2,a_3,...$ tal que para todo $k$ entero positivo existe un único $i$...

Sea $n$ un entero positivo impar, y supongamos que en un tablero de $n\times n$ hay un rey de ajedrez que se desplaza como indican las reglas. Algunas casillas se pintan de verde. Supongamos que se puede ir de cualquier casilla verde a cualquier otra pasando solo por casillas verdes. Demostrar que e...

Consideremos una sucesión infinita de enteros positivos $a_1, a_2, a_3,\dots$ que satisfaga las siguientes dos condiciones: $a_n\leq 3n$, para todo entero positivo $n$. $v_2\,(a_m+a_n)=v_2\,(m+n)$ para cualesquiera $m$ y $n$ enteros positivos. Probar que todo múltiplo de $3$ aparece exactamente una ...

Sea $ABC$ un triángulo. Supongamos que existe un punto $D$ en el lado $AC$ tal que $CD=2AB$ y
$$B\hat{A}C=2\cdot D\hat{B}C = 4\cdot A\hat{C}B.$$
Hallar la medida de los ángulos del triángulo $ABC$.

No estoy listo como para postear un 192, así que mejor dejo un epílogo: (acabo de notar que Ianoni ya subió su problema jajaja, pero bueno, nunca viene mal) Problema 191++ Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle BAD=90^{\circ}$ y $BCD$ sea equilátero. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $...