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Me inscribo rápido así @Elsa Muray no dice ridiculeces.

No me esmeré mucho. Como $APM$ y $CQM$ son isósceles, entonces $\angle CMQ+\angle AMP=\angle MCQ+\angle MAP=90^{\circ}$. Por lo tanto, $\angle PMQ=90^{\circ}$. De este modo, $BPMQ$ es cíclico y $\angle BQP=\angle BMP$. Para hallar este último ángulo, basta ver que, como $AM=BM$ y $\angle BAM=41^{\ci...

Moraleja: EQUILÁTEROS. Solución: geogebra-export (1).png Sea $B'$ la reflexión de $B$ por $AC$. Es claro que $BB'C'$ es equilátero. Más aún, $AB'=AB=AP$. Lo primero que vamos a notar es que $\angle BAP=40^{\circ}$, dado que $ABP$ es isósceles con $\angle B=70^{\circ}$. Por otro lado, $\angle BAB'=2...

Aporto una solución animada para $N=4$ "sin palabras".
Invitado está el que quiera formalizarlo y/o generalizarlo.

Simpático. Vamos a ver que existe una secuencia $a_1$, $a_2$, $a_3$,..., tal que si $n=a_i$ para algún $i$ entero positivo, entonces $n$ y $n+1$ están ambos llenos de cuadrados. Observación 1: Si $a$ y $b$ están llenos de cuadrados, $ab$ también lo está. Demostración: Si un factor primo de $ab$ apar...

Grandioso. Como no me gusta la inducción, vamos a usar otra idea. Supongamos que cada región tiene un contador, que inicia en $0$. Para cada recta $l$, que divide al plano en dos semiplanos, elegimos uno de estos semiplanos y para cada región que pertenece al semiplano elegido le sumamos $1$ a su co...

Entrenando para no-competencias. Solución: El máximo es $6$. Un ejemplo: 2.png Para probar que es el máximo, notemos que los $10$ triángulos forman un ciclo donde cada uno tiene un lado en común con sus dos vecinos. Ahora, si tomamos una terna triángulos consecutivos, hay dos casos: O bien los tres ...

Siempre hay que dar ejemplos... La diferencia puede ser $r$ si y sólo si después de que A se llevará el último billete de $10$ euros, C se lleva $10-r$ monedas. Es decir, mirando módulo $20$, ganaron $20-r$ euros con $r<10$. Ahora sólo hay que ver los residuos cuadráticos módulo $20$, que sólo son $...

Parece que la espada de @Elsa Muray era más bien roma.

Gianni De Rico escribió: ↑

Mié 12 Feb, 2020 12:58 am

Problema 134

Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $BC$

¿Cómo sería eso?