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Gran problema. Pistas: Pista 1. Invariantes. Pista 2. Experimentar con tres numeritos: $a, b, c$ pasa a ser $a$ y $b+c+\frac{bc}{a}$. ¿Qué cosa no cambia? Pista 3. Notar que $a\left(b+c+\frac{bc}{a}\right)=ab+ac+bc$, que es la suma de los productos de todas las parejas que se pueden formar con los t...

En cierta ciudad el sistema de autobuses tiene $65$ líneas que pasan, entre todas, por $999$ paradas. Este sistema permite viajar en autobús de cada parada a cada una de las otras, tal vez efectuando trasbordos. Para cada dos líneas A y B hay al menos una parada de A que no está en B y al menos una ...

Hallar $9$ números enteros positivos que sumen $2006$ y tales que el mínimo común múltiplo de esos $9$ números sea lo menor posible (entre los $9$ números puede haber repetidos).

En las casillas de un tablero de $8 \times 8$ hay que colocar fichas de modo que cada dos casillas consecutivas de una misma fila o de una misma columna haya al menos una que tenga una ficha y cada $7$ casillas consecutivas de una misma fila o de una misma columna haya al menos dos casillas consecut...

Ale debe escribir un número de $20$ dígitos que tenga por lo menos $9$ dígitos distintos. A continuación Fede anota todos los números de dos dígitos que pueden quedar escritos al tacharle $18$ dígitos al número de Ale (algunos pueden comenzar con $0$ si Ale utilizó el $0$). El objetivo de Ale es que...

Una sucesión $a_0, a_1, a_2,..., a_n$ es tal que $a_0=1$ y, para cada $n\geq 0$, $a_{n+1}=m\cdot a_n$, donde $m$ es un entero entre $2$ y $9$ inclusive. Además, cada entero entre $2$ y $9$ inclusive se ha usado al menos una vez para obtener $a_{n+1}$ a partir de $a_n$. Sea $S_n$ la suma de los dígit...

Alrededor de una circunferencia están escritos $2009$ enteros, no necesariamente distintos, de modo que si dos números son vecinos su diferencia es $1$ o $2$. Diremos que un número es grande si es mayor que sus dos vecinos, y que es pequeño si es menor que sus dos vecinos. La suma de todos los númer...

Inicialmente hay un "$1$" en la pantalla. Al apretar la tecla A se multiplica por $3$ el número de la pantalla. Al apretar la tecla B, se resta $1$ al número de la pantalla. Utilizando una secuencia de teclas A y B hay que llegar a tener en la pantalla el $97$. ¿Cuál es el número mínimo de teclas qu...

Sea $ABC$ un triángulo de área $7$. Se construye el triángulo $XYZ$ de la siguiente manera: se prolonga el lado $AB$ de modo que $AX = 2AB$, se prolonga el lado $BC$ de modo que $BY = 3BC$ y se prolonga el lado $CA$ de modo que $CZ = 4CA$. Hallar el área del triángulo $XYZ$.