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Sean $D$ en $AB$, $E$ en $BC$ y $F$ en $AC$ tal que $BEFD$ es el rectángulo inscripto de la figura. Sea $BE=x$ $\Rightarrow$ $EC=4cm-x$ Además, $\overset{\bigtriangleup}{ABC}\sim\overset{\bigtriangleup}{FEC}$ $\Rightarrow$ $EC=4cm-x=EF$ Por ser $BEFD$ rectángulo, $BE=x=DF$ y $BD=EF=4cm-x$ $\therefo...

Sea N en AB tal que $A\widehat{C}N=90º$ y sea $BP=2k=2BC$ $\Rightarrow$ $BC=k$. Por teorema del seno en $\overset{\bigtriangleup}{ABC}:\frac{sen(2\alpha)}{AC}=\frac{sen(\alpha)}{k}$. Pero $sen(2\alpha)=2sen(\alpha)cos(\alpha)$ $\Rightarrow$ $\frac{2 sen(\alpha)cos(\alpha)}{AC}=\frac{sen(\alpha)}{k}...

Notemos que los múltiplos de $7$ ocupan los lugares impares dentro de la sucesión, mientras que los múltiplos de $8$, los lugares pares. Cada $8$ términos que ocupan los lugares impares, serán múltiplos de $8$ ($7.8$,$7.2.8$,$7.3.8$, etc), que serán los múltiplos comunes; a consecuencia de esto, no...

i) En el triángulo rectángulo, siendo $a$ la hipotenusa, $b$ el cateto mayor y $c=120$ el menor, se tiene que $a^2=b^2+120^2\Rightarrow a^2-b^2=120^2$ y factorizando: $(a+b)(a-b)=2^6\cdot 3^2\cdot 5^2$. Al buscar que $a$ y $b$ tengan la menor diferencia posible, diremos que $a-b=2$ (no $1$, pues es...

Sea $a_{n}$ el valor del término $n$ de la secuencia. Observemos que a partir del 2º término, cada nuevo término $a_{n+1}$ se genera aumentando al anterior en $901\cdot 10^{n}$. Podemos entonces generalizar la fórmula de la secuencia, expresándola como: $a_{n+1}=1007+901\cdot \sum\limits _{i=1}^{n}...

Es fácil ver que $\bigtriangleup$ $ABC$ es rectángulo ($BC$ hipotenusa). Luego $\bigtriangleup$ $CAB$ $\sim$ $\bigtriangleup$ $MRB$, siendo $MR=2$ (pues, por semejanza $MR=AC/2$). Siendo $IS$ el inradio, por Poncelet tenemos: $5+2IS=3+4$ $\Rightarrow$ $IS=1$. Luego $\bigtriangleup$ $ISP$ $\sim$ $MR...

Sea $\alpha$ el ángulo central subtendido por el lado de longitud $3$, $\beta$ el ángulo central subtendido por el lado de longitud $2$, y $\epsilon$ el ángulo central subtendido por el lado de longitud $1$. Luego, por tener el hexágono 3 pares de lados iguales, tenemos que $2\alpha+2\beta+2\epsilo...

Por ser opuestos por el vértice: $\hat{CMP}=\hat{BMN}=30°$. Al ser $\hat{MBQ}=120°$, se tiene que $\hat{BQM}=30°$, por lo que $\triangle$ $MBQ$ es isósceles ($MB=BQ$) y al ser $N$ punto medio, se observa que $BN$ es bisectriz de $\hat{MBQ}$ $\Rightarrow$ $\hat{MBN}=\hat{QBN}=60°$, por lo que $\tria...

Con dos dígitos únicamente se tiene el número $11$. Con tres, serán todos los números de la forma $11a$, $1a1$ y $a11$, siendo $a$ entero y $2$$\leq$$a$$\leq$$9$. Calculamos la suma de esos dígitos que no son $1$: $\frac{9.10}{2}-1$$=$$44$. Luego, sólo nos quedará sumar los 3 posibles casos: $112+1...