Se encontraron 107 coincidencias

por enigma1234
Mar 22 Sep, 2020 6:38 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: IMO 2020 Problema 5
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Re: IMO 2020 Problema 5

Solución: Veamos que para todo $n$ los números escritos en las cartas son iguales. Sean $a_1\geq a_2\geq\dots\geq a_n$ los números de las cartas. Lema: Sea $p$ un primo tal que $p\mid a_1$. Luego $p\mid a_i$ para todo $i$. Demostración: Veamos por inducción fuerte que este resultado es cierto, para...
por enigma1234
Mar 22 Sep, 2020 5:58 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: IMO 2020 Problema 2
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Re: IMO 2020 Problema 2

Solución: Por $MA-MG$ con pesos tenemos que: $$\sqrt[a+b+c+d]{a^ab^bc^cd^d}\leq\frac{a\times a+b\times b+c\times c+d\times d}{a+b+c+d}\to a^ab^bc^cd^d\leq a^2+b^2+c^2+d^2$$ Luego, si probamos que $(a+2b+3c+4d)(a^2+b^2+c^2+d^2)<1$ tendremos que la desigualdad pedida es cierta, veamos que: $$(a+2b+3c...
por enigma1234
Vie 04 Sep, 2020 2:26 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Problema 162

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $AD,BE,$ y $CF$ sus alturas. Demostrar que $DE+DF\leq BC$ y determinar cuando se da la igualdad.
por enigma1234
Vie 04 Sep, 2020 2:24 am
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Solución 161 Sea $D$ el punto medio de $BC$, $J$ la intersección de $AO$ con la mediatriz de $AH$, y $N$ el punto medio de $AH$. Es conocido que $AH=2OD$, entonces $AN=OD$ y como $OD\perp BC$, $JN\perp AH$, $AH\perp BC$, tenemos que $\angle ANJ=\angle ODQ=90^{\circ}$ y $AN\parallel OD$ y como $AJ\p...
por enigma1234
Mié 10 Jun, 2020 12:37 am
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: APMO 2020 Problema 3
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Re: APMO 2020 Problema 3

Si $S$ fuera un conjunto finito entonces cualquier número mayor a la suma de todos los elementos de $S$ no se puede expresar como suma de elementos distintos de $S$. Entonces $S$ es infinito, sea $S=\{a_1,a_2,\dots\}$ tal que $a_1<a_2<a_3<\dots$. Lema 1: Para todo $a_n>m$ las $k$ formas de expresar...
por enigma1234
Mar 09 Jun, 2020 8:25 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: APMO 2020 Problema 2
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Re: APMO 2020 Problema 2

Primero veamos que $r>2$ no cumple lo pedido, si $a_n= \lfloor\tfrac n2\rfloor +M$ con $M>\frac{1}{r-2}$. Entonces $a_n$ es creciente y $a_n+1=a_{n+2}$, de esto: $$a_n\leq a_{n+2}=a_n+1=\sqrt{a_n^2+2a_{n}+1}<\sqrt{a_n^2+2a_{n}+(r-2)a_n}=\sqrt{a_n^2+r\times a_{n}}\leq \sqrt{a_n^2+r\times a_{n+1}}$$ ...
por enigma1234
Mar 26 May, 2020 11:22 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Problema 152: Sea $ABCD$ un paralelogramo. La circunferencia de diámetro $AB$ intersecta a las líneas $BC,BD$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente.($E$ y $F$ distintos de $B$). Sea $E'$ la reflexión de $E$ con respecto a $B$. Si $DE'$ y $FC$ se intersectan en el punto $K$, demostrar que $\angle ...
por enigma1234
Mar 26 May, 2020 4:12 am
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Solución 151: Sea $C,H'=CH\cap \odot(ABC)$, $E,F=DP.\cap \odot(ABC)$ y $Q=DP\cap H'B$. Como $OD\perp DP$ entonces $D$ es punto medio de $EF\to$ por el Teorema de la Mariposa $D$ es punto medio de $PQ$. Es conocido que $D$ es punto medio de $HH'$, entonces los triángulos $\triangle DHP$ y $\triangle...
por enigma1234
Vie 08 May, 2020 4:04 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Esto no sería cierto si $K$ es el centro del cíclico (y entonces $PK$ y $QK$ son radios), pero el caso se descarta fácil dado que no hay lados paralelos. Cierto no lo había notado, ya lo corregí. Problema 149: Sean $H_1,H_2$ los pies de las alturas de un triángulo escaleno $ABC$ sobre los lados $AB...
por enigma1234
Vie 08 May, 2020 3:14 am
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Solución 148: Lema: $AB\times CD=4IK\times IM\iff I=KM\cap LN$. Demostración: Como $I$ es incentro tenemos que $\angle BAI+\angle CID=180^{\circ}$.Entonces sea $P$ un punto al exterior de $ABCD$ tal que $\triangle PAB$ y $\triangle IDC$ son semejantes. Entonces $\angle APB+\angle AIB=180^{\circ}\to...