Se encontraron 68 coincidencias

por Fran2001
Mié 27 Mar, 2024 12:22 am
Foro: Combinatoria
Tema: Problema interesante #2
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Re: Problema interesante #2

Nuestros jugadores se van a llamar Ana y Beto. Vamos a ver $2$ casos: Caso $n$ impar En este caso siempre gana Ana. Notemos que puede comenzar borrando $n$ y luego emparejar el $1$ con el $2$, el $3$ con el $4$, y así hasta emparejar el $n-2$ con el $n-1$. Luego, por cada número que borre Beto, Ana...
por Fran2001
Vie 29 Sep, 2023 5:35 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Provincial 2023 N2 P2
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Re: Provincial 2023 N2 P2

Pensemos primero el caso $k=1$. Notemos que la ficha de Ana es como la de Beto pero con una casilla menos. Entonces, si en algún momento Ana no puede jugar, si le hubiera tocado a Beto en ese momento, él tampoco hubiese podido jugar. Entonces si Ana intenta guardarse una porción del tablero en la q...
por Fran2001
Vie 29 Sep, 2023 4:49 am
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Provincial 2023 N1 P3
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Re: Provincial 2023 N1 P3

Si el lado del cuadrado mide $4$, entonces resulta que la base de $\triangle ABE$ también es $4$, y su altura es $2$. Entonces el área total de la figura es $4^2+\frac{4\cdot 2}{2}=20$. Entonces el área del triángulo final también debe ser $20$. Si los catetos del triángulo final miden $x$ cada uno...
por Fran2001
Vie 22 Sep, 2023 6:32 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Provincial 2015 N2 P3
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Re: Provincial 2015 N2 P3

Supongamos que tenemos el punto $F$ en $AB$ tal que $AF = AD$. Como $AD+BE=AB$, resulta que $BF=AB-AF=AB-AD=BE$. No conocemos $D$, $E$, ni $F$, pero si encontramos alguno podemos encontrar los otros fácilmente. Notemos que $FD$ tiene una dirección fija (perpendicular la bisectriz de $\widehat A$). ...
por Fran2001
Mié 29 Mar, 2023 5:54 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Selectivo de IMO 2013 Problema 3
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Re: Selectivo de IMO 2013 Problema 3

Lo dejo para que quede cómo lo pensé de atrás para adelante y cómo lo escribiría: Sea $T$ la intersección de la recta por $D$ paralela a $AC$ y la recta por $S$ paralela a $PR$. Queremos demostrar que $T$ está en $k$, o sea, que $TDSM$ (o $TDSN$) es cíclico. Lo que vamos a hacer es tratar de sacarno...
por Fran2001
Sab 12 Nov, 2022 7:48 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Nacional 2022 - Nivel 3 - Problema 2
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Re: Nacional 2022 - Nivel 3 - Problema 2

Notemos primero que $n = 1$ y $n = 3$ son solución. Veamos ahora que son las únicas. Para empezar, veamos que $n$ no puede ser par, ya que la última condición nos dice que $\frac{1+2+\ldots + n}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$ es entero. Si $n$ es impar y mayor a $3$, podemos escribirlo com...
por Fran2001
Sab 12 Nov, 2022 10:28 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Nacional 2022 - Nivel 1 - Problema 1
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Re: Nacional 2022 - Nivel 1 - Problema 1

Notemos que las fichas de $1\times 3$ no entran en posición vertical, por lo que deben ir en posición horizontal, y por lo tanto todas las fichas (incluidas $1\times 2$) deben ir en posición horizontal. Entonces resulta que la forma en que llenamos la fila de abajo es completamente independiente de...
por Fran2001
Sab 12 Nov, 2022 9:39 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Nacional 2022 - Nivel 1 - Problema 5
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Re: Nacional 2022 - Nivel 1 - Problema 5

Primero que nada vamos a notar que cada casilla va realizando un ciclo de tamaño $3$ al cambiar de color, por lo que tiene sentido mirar las cosas en módulo $3$ . Esto es una forma de decir que nos da lo mismo aplicar la operación sobre una casilla $0$ veces que aplicarla $3$, $6$, $9$ o cualquier ...
por Fran2001
Jue 20 Oct, 2022 8:49 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Nacional 2006 N3 P2
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Re: Nacional 2006 N3 P2

Sean $F$ la intersección de $BC$ con $MD$ y $E$ la intersección de $BD$ con $AF$. Tenemos que $BF = BM$, pues $BD$ es bisectriz de $M\widehat BF$ y perpendicular a $MF$. Ahora, resulta $$\frac{BC}{CF} = \frac{AE}{EF} = \frac{AB}{BF} = \frac{AB}{BM} = 2,$$ donde la primera igualdad es por Ceva en $\...
por Fran2001
Mar 20 Sep, 2022 11:58 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P6 Nivel Mayor
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Re: Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P6 Nivel Mayor

Decimos que "preguntamos $(a, b)$" cuando le preguntamos al mago $a$ "¿El mago $b$ es bueno?". Sea $n$ la cantidad de magos. Vamos por inducción en $n$. Para el caso base $n=1$ simplemente echamos a $a_1$. Ahora el paso inductivo: Sean $a_1, a_2, \dots, a_n$ los magos. Para $i =...