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Demostración chota: Inducción :/ Demostración copada: Por el cubo del binomio, sabemos que: (1+1)^3 = 1^3 + 3\cdot 1^2 \cdot 1 + 3\cdot 1 \cdot 1^2+1^3 (2+1)^3 =2^3+3\cdot 2^2 \cdot 1 + 3\cdot 2 \cdot 1^2+1^3 \vdots (n+1)^3 =n^3+3\cdot n^2 \cdot 1 + 3\cdot n \cdot 1^2+1^3 Sumando todas estas iguald...

Te recomiendo q leas libros en ingles, tienen mejor nivel, estan mejor hechos y hay muchos mas libros. Por ejemplo ese Retorno es el Coxeter que esta en internet listo para bajar e imprimir, aunque a mi parecer hay otros libros que son mejores. Si estas interesado pregunta nomas. Otra opcion es el c...

Perdon por no poner problema, ahi va!.
Problema 3:
Sea [math]ABCD un quadrilatero ciciclico con diagonales perpendiculares y circunradio [math]R. Demuestre que [math]AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=8R^2

Solucion Problema 2: O es el centro del circulo. AB\cdot AC=AM^2=AD\cdot AO entonces BCOD es ciclico. Sea P la interseccion del circuncirculo de BCOD con la mediatriz de BC . Tenemos que PDO es recto y por lo tanto P , M y D son colineales. De la definicion de P obtenemos que PD es bisectriz de BDC...

podrias ser mas especifico?, que quieres exactamente? no entiendo cuando dices "obtener cualquier punto en la recta resultante"

Si todos son mayores a (n+1)/2 el resultado es obvio. Asi que suponemos que a=a_1<a_2<...<a_l<a_{l+1}<...<a_m donde a\le (n+1)/2 y l es tal que a_{l+1}\ge n+1-a . Para cada i con 1\le i\le l sea b_i el unico entero positivo tal que 2a_i+b_ia\ge n+1 (*) 2a_i+(b_i-1)a<n+1 (**) De (**): a_i+b_ia<n+1+a...

Si demostramos lo siguiente estamos listos: g(n):=n-[\sqrt{n}]^2, \forall n:g(n)\le[\sqrt{n}],\forall k:0\le k\le g(n),g(f^{2k}(n))=g(n)-k (*) donde f^{2k} quiere decir que f se ha aplicado 2k veces y [x] es la parte entera de x . Notemos que hemos supuesto algo g(n)\le [\sqrt{n}] . Si g(n)\ge[\sqr...

El minimo es n y se puede alcanzar con a_1=a_3=...=a_{2n-1}=1,a_2=a_4=...=a_{2n}=0 . La idea general es ir modificando a_1,...,a_{2n} de uno en uno para ir maximizando la expresion. Dividimos en casos Caso 1: a_1+a_{2n-1}\le 1 . S=a_{2n}(1-a_1-a_{2n-1})+a_1+...+a_{2n-1}-a_1a_2-a_2a_3-...-a_{2n-2}a_...

El maximo es n y se puede alcanzar con a_1=a_3=...=a_{2n-1}=1,a_2=a_4=...=a_{2n}=0 . La idea general es ir modificando a_1,...,a_{2n} de uno en uno para ir maximizando la expresion. Dividimos en casos Caso 1: a_1+a_{2n-1}\le 1 . S=a_{2n}(1-a_1-a_{2n-1})+a_1+...+a_{2n-1}-a_1a_2-a_2a_3-...-a_{2n-2}a_{...

Me salio mas rapido de lo que esperaba :mrgreen: Sea XD una altura de \triangle XYZ . Si demostramos que AD y XU concurren en el circuncirculo de \triangle ABC estamos listos. Sea P la interseccion de AD con el circuncirculo de \triangle ABC . Tenemos que BP/PC=(2R\sin \angle BAP)/(2R\sin \angle CAP...