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Algo que capaz sirve

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Si $E$ es el punto medio de $AB$ entonces $MNPE$ es cíclico de diámetro $NE$ (lo vi en GeoGebra pero no encontré una forma de probar que son coplanares sin usar coordenadas).

La primera parte es usar que $1\pm \sqrt{2}$ es irracional ya que $1$ es racional y $\sqrt{2}$ no para concluir que $a$ y $b$ son irracionales al ser la mitad de un irracional. Después es hacer la cuenta para ver que efectivamente cumplen la propiedad $\mathcal{P}$. Para la segunda parte, recordemo...

Para la primera parte, consideremos una porción del tablero que se ve así\begin{array}{ccccc} a&b&c&d&e\\ *&f&g&h&i\\ *&*&j&k&\ell \end{array}(los lugares con $*$ pueden estar vacíos o tener más números, no nos importa), donde las primeras dos filas c...

Siendo que el ángulo que forman los planos no es lindo, dudo que exista la solución hiper mega trivial Dejo esto nomás porque hace un poco más fáciles las cuentas de arriba En realidad, está primera parte puede hacerse con muchos Pitágoras (ya que de ahí sale la formulita para la distancia entre dos...

$$f(x)=\left (x+\frac{1}{2}\right )\chi_{\left [-1,-\frac{1}{2}\right )}(x)+\left (-x+\frac{1}{2}\right )\chi_{\left [-\frac{1}{2},0\right )}(x)+\left (-x-\frac{1}{2}\right )\chi_{\left (0,\frac{1}{2}\right ]}(x)+\left (x-\frac{1}{2}\right )\chi_{\left (\frac{1}{2},1\right ]}(x)$$Donde notar que $f...

Ya que estamos, dejo mi solución para la parte b) Como $n\in A$, tenemos que $1<\sqrt{1+\sqrt{n}}$, con lo que $\left |1-\sqrt{1+\sqrt{n}}\right |=\sqrt{1+\sqrt{n}}-1$, y por lo tanto$$\sqrt{n}\left |1-\sqrt{1+\sqrt{n}}\right |=\sqrt{n}\sqrt{1+\sqrt{n}}-\sqrt{n}.$$La desigualdad que nos da el enunci...

Yo sabía que ya había visto este problema antes. La segunda parte es FOFO 2020 P4.

a) $$1<\sqrt{1+\sqrt{n}}<2$$ Como los tres términos resultan positivos, podemos elevarlos al cuadrado sin afectar nada. $$1<1+\sqrt{n}<4$$ $$0<\sqrt{n}<3$$ Volvemos a elevar al cuadrado $$0<n<9$$ Entonces $$A=\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$$ b) Al ser solo $9$ casos, lo hice probando. Me dio que este conjunto...

Solución muy linda SelIbero 2016 P5.png Sean $F=BC\cap DE$, $G=BD\cap CE$ y $H=EP\cap BQ$. Como $\angle ABF=\angle ABC=90^\circ =\angle AED=\angle AEF$, tenemos que $ABFE$ es cíclico de diámetro $BF$. Luego, como el ortocentro y el circuncentro de un triángulo son conjugados isogonales, para ver que...

Ahí va, mi error de entrada fue ignorar el módulo $2$ y querer separar primero en casos según si $n$ es par o impar (por lo de $p+q\mid p^n+q^n$ para $n$ impar). Lo gracioso es que después miré módulo $2$ pero lo descarté porque ya tenía algo tipo $p^n+(r^k-p)^n=r^2$, así que el módulo $2$ solamente...