Se encontraron 1121 coincidencias

por Gianni De Rico
Vie 24 Ene, 2020 11:04 pm
Foro: General
Tema: Arrancó el OFO 2020!
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Re: Arrancó el OFO 2020!

Consulta, en el problema 9, el inicio del texto es el siguiente: ...muchos participantes hicieron nuevos amigos... . ¿Esto significa que hay al menos 2 personas que son amigos en el grupo? ¿o también se debe considerar el caso donde nadie es amigo de nadie? También se debe considerar el caso donde ...
por Gianni De Rico
Jue 23 Ene, 2020 8:46 am
Foro: General
Tema: Arrancó el OFO 2020!
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Re: Arrancó el OFO 2020!

No entendí el problema 6... 😥 Hay que encontrar (y justificar apropiadamente) un entero positivo $N$ de forma tal que para todo entero positivo $k$ menor a $N$ exista una progresión aritmética de $180$ términos con exactamente $k$ de ellos enteros, y que para $N$ sea imposible hallar una con esa pr...
por Gianni De Rico
Mié 22 Ene, 2020 12:00 am
Foro: Problemas
Tema: OFO 2020 Problema 8
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OFO 2020 Problema 8

Sea $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ una sucesión infinita de números enteros positivos, estrictamente creciente, que cumple la siguiente propiedad: para todo $n \geq 10$, $a_n$ divide a la suma de todos los términos anteriores. Demostrar que existe $m \in \mathbb N$ tal que para todo $n \geq m$ se cumple...
por Gianni De Rico
Mar 21 Ene, 2020 11:56 pm
Foro: Problemas
Tema: OFO 2020 Problema 13
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OFO 2020 Problema 13

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en $R$, y las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $L$. Sean $M$ y $N$ puntos sobre los segmentos $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}$. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $MN$ con las diagonale...
por Gianni De Rico
Dom 12 Ene, 2020 3:01 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Problema 3 APMO 2016
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Re: Problema 3 APMO 2016

Dos años después me di cuenta que en la otra solución nunca probé que la cónica es una circunferencia, así que acá dejo una distinta Solución: Screenshot_20200112-145912.png Sea $\omega$ la circunferencia de referencia, y sea $z$ la polar de $Z$ para todo punto $Z$ del plano. Por Thales tenemos que ...
por Gianni De Rico
Jue 02 Ene, 2020 6:43 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: 24° APMO 2012 - Problema 4
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Re: 24° APMO 2012 - Problema 4

Solución: Screenshot_20200102-224211.png Sean $H'$ el simétrico de $H$ por $M$, $G=BH\cap CA$, $I=CH\cap AB$, $J=GI\cap BC$, $K$ el simétrico de $H$ por $BC$, $L$ el segundo punto de intersección de $\odot AHJ$ con $GI$, y $P$ el segundo punto de intersección de $AM$ con $\odot AGI$ (entonces $J,H,...
por Gianni De Rico
Jue 02 Ene, 2020 12:11 pm
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Selectivo de IMO 2011 - Problema 5
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Re: Selectivo de IMO 2011 - Problema 5

Solución: Sea $n$ la cantidad de jugadores. Consideramos el grafo dirigido $G$ en el que los vértices son los jugadores, y para cada par de vértices $u,v$, existe la arista $(u,v)$ si y sólo si $u$ le ganó a $v$. Como cada jugador ganó al menos un partido, el grado de salida $\delta ^+(v)$ de cada ...
por Gianni De Rico
Mié 01 Ene, 2020 5:41 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: APMO 2019 Problema 3
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Re: APMO 2019 Problema 3

Rindiendo homenaje a la inversión Solución: Todos los ángulos y distancias son dirigidos. Sea $T$ el segundo punto de intersección de $\odot AXY$ con $\Gamma$, vamos a demostrar que $T$ está fijo. Lema 1: $BCXY$ es cíclico Demostración: Screenshot_20200101-204534.png Consideremos la inversión de cen...
por Gianni De Rico
Lun 30 Dic, 2019 6:47 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 32 (P6 TST Rumania 2013)
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Re: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 32 (P6 TST Rumania 2013)

Solución: Sean $ABC$ y $A'B'C'$ los triángulos dados, y sean $\Gamma$ el circuncírculo, $O$ el circuncentro, y $G$ el baricentro de $ABC$. Por último, sean $M$ y $N$ los puntos medios de $A'B'$ y $A'C'$, y supongamos sin pérdida de generalidad que $M$ y $N$ pertenecen ambos a $\omega _1$, la circun...