Se encontraron 1477 coincidencias

por Gianni De Rico
Dom 28 Feb, 2021 1:24 am
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Problema 199 Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo escaleno $ABC$, sea $M$ el punto medio del lado $BC$, sean $D,E,F$ los pies de las alturas desde $A,B,C$, respectivamente, en el triángulo $ABC$, y sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita de $ABC$. La semirrecta $MH$ corta a $\Gamma$...
por Gianni De Rico
Dom 28 Feb, 2021 1:12 am
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Este problema forma parte de la serie "construcciones auxiliares para evitar la trigonometría", y va dedicado al Monazo Solución 198 198 - 1.png Como $\angle ACB=60^\circ$, $CI$ es bisectriz de $\angle ACB$ y $PC\perp CI$, tenemos que $\angle PCB=120^\circ$. Sea $A'$ el simétrico de $A$ por $BC$, en...
por Gianni De Rico
Sab 27 Feb, 2021 1:48 pm
Foro: Nivel 4
Tema: Uno de geo (?)
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Re: Uno de geo (?)

Este problema lo encontré originalmente haciendo cosas con espacios vectoriales, así que acá va una demo con lineal (no es mía) Sea $v_k=p_k-p_0$ para $k=1,\ldots ,n+1$, notemos que son LI ya que en caso contrario, $p_0\in \operatorname{span}(p_1,\ldots ,p_{n+1})$, entonces están todos en un mismo h...
por Gianni De Rico
Lun 22 Feb, 2021 8:50 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Problema 196 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sea $P$ un punto del lado $AB$. La diagonal $AC$ corta a la recta $DP$ en el punto $Q$. La paralela a $CD$ por $P$ corta a la prolongación de $CB$ en el punto $K$, la paralela a $BD$ por $Q$ corta a la prolongación de $CB$ en el punto $L$. Demostrar...
por Gianni De Rico
Lun 22 Feb, 2021 8:46 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Solución 195 Por ser ejes radicales, tenemos que $AD,OK,CB$ concurren en un punto $E$. Notamos ahora que $\angle KCB=\angle KOA=\angle KDE$, así que $CEDK$ es cíclico. Por otro lado, vemos que $AC$ y $BD$ son alturas en $ABE$, de modo que se cortan en su ortocentro $H$, y claramente $CEDH$ es cícli...
por Gianni De Rico
Lun 22 Feb, 2021 5:57 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

Problema 195 Sea $AB$ un segmento y $O$ su punto medio. Sean $C$ y $D$ dos puntos sobre la semicircunferencia de diámetro $AB$ (de modo que quede formado el cuadrilatero ciclico $ABCD$) y sea $M$ la intersección de la recta $CD$ con la recta $AB$. Sea $K$ el segundo punto de intersección de las cir...
por Gianni De Rico
Dom 21 Feb, 2021 7:01 pm
Foro: Geometría
Tema: Un problema de colinealidad
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Re: Un problema de colinealidad

Hacer los dibujos queda como ejercicio para el lector Lema: Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico de circuncentro $O$, las tangentes a la circunscrita de $ABCD$ por $A$ y $B$ se cortan en $E$, y las tangentes por $C$ y $D$ se cortan en $F$. Sea $G$ en la circunscrita de $OEF$ tal que $OG$ es simediana ...
por Gianni De Rico
Jue 18 Feb, 2021 11:06 pm
Foro: Geometría
Tema: Maratón de Problemas de Geometría
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Re: Maratón de Problemas de Geometría

El 191 lo había propuesto para OFO pero terminó en otro lado, así que acá dejo lo que iba a ser la solución oficial Notemos primero que dados $A,B,D$, el punto $C$ tal que $\angle BAM=\angle MAN=\angle NAD$ es único. En efecto, las rectas $AM$ y $AN$ están determinadas, pues $\angle BAM=\angle MAN=\...
por Gianni De Rico
Mar 16 Feb, 2021 11:34 am
Foro: Problemas Archivados de Combinatoria
Tema: Sel Cono - 1999 - P1
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Re: Sel Cono - 1999 - P1

"Viajar de una a otra" significa que para cada par de ciudades $a,b$ hay una sucesión de ciudades $a=c_0,c_1,\ldots ,c_{n-1},c_n=b$ tales que hay un enlace entre $c_{i-1}$ y $c_i$ para $i$ desde $1$ hasta $n$. En criollo, hay un caminito desde $a$ hasta $b$ que pasa por algunas ciudades en el medio.
por Gianni De Rico
Sab 13 Feb, 2021 7:51 pm
Foro: Nivel 4
Tema: GEOMETRIA DESCRIPTIVA
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Re: GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Esto es más geometría analítica que descriptiva, dejo la idea que se me ocurrió (las cuentas te quedan a vos) Fijate que todos los puntos son coplanares, entonces podés analizar el problema en el plano. Como $P$ y $V$ están fijos, también lo está $Q$, entonces $R$ se mueve en una elipse de focos $P$...