Se encontraron 988 coincidencias

por Gianni De Rico
Mié 10 Jul, 2019 10:10 am
Foro: Geometría
Tema: ¿Circunscriptible + Armónico = Romboide?
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Re: ¿Circunscriptible + Armónico = Romboide?

O, podemos hacer algo mucho más fácil Multiplicás la primer igualdad por $CD$, usás la segunda para reemplazar $AB\cdot CD$, y notás que eso se factoriza como $(BC-CD)(DA-CD)=0$, de donde alguno entre $BC$ y $DA$ debe ser igual a $CD$, y reemplazando en la primer igualdad, el otro debe ser igual a $...
por Gianni De Rico
Lun 08 Jul, 2019 3:48 pm
Foro: Nivel 4
Tema: Proposiciones sobre derivadas
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Re: Proposiciones sobre derivadas

Un ejemplo de función (que obviamente no es diferenciable) pero que tiene derivadas parciales y no todas las derivadas direccionales. $$ f(x,y) = \left\{ \begin{matrix} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.$$ En caso de que la igualdad anterior no se cumpla solo...
por Gianni De Rico
Dom 07 Jul, 2019 12:16 am
Foro: Geometría
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P3
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Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P3

Solución:
Spoiler: mostrar
Sean $E$ y $F$ los puntos medios de $BD$ y $AC$, respectivamente, y sea $F'$ el inverso de $F$ por $\Omega$. Luego, $OE\perp BD$; y $OF'$ es diámetro de $\odot OAF'C$, de donde $OE\perp EF'$, por lo que $B,E,D,F'$ están alineados, de donde $O,F,D,B$ son concíclicos.
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 6:12 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P7
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P7

Hay varias ranas sentadas en los puntos enteros de la recta real. En cada paso, una rana hace un salto de longitud $1$ hacia la derecha, siempre y cuando todas las ranas sigan en vértices distintos. Se calcula el número de maneras en que las ranas pueden hacer $N$ de estos saltos para cada entero po...
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 6:08 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P6
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P6

Ana y Beto juegan al siguiente juego. Ana piensa un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros. En cada turno, Beto le paga una moneda y dice un entero $a$ que no haya dicho anteriormente. Ana debe responderle el número de soluciones distintas a la ecuación $P(x)=a$. El juego continúa hasta que Ana r...
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 6:04 pm
Foro: Geometría
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P5
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P5

Decidir si es posible cortar un cuadrado de lado $1$ en dos partes y reacomodarlas de forma que se pueda cubrir un círculo de diámetro mayor a $1$.
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 6:00 pm
Foro: Problemas
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P4
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P4

Se tienen $2016$ cartas rojas y $2016$ cartas azules, cada una con un número escrito. Se sabe que hay un conjunto de $64$ números reales positivos distintos tales que las sumas de cualquier par de números están escritas en cartas del mismo color y los productos de cualquier par de números están escr...
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 5:51 pm
Foro: Geometría
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P3
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P3

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia $\Omega$ de centro $O$, que no pertenece a ninguna de sus diagonales.
Si el circuncírculo de $AOC$ pasa por el punto medio de $BD$, demostrar que el circuncírculo de $BOD$ pasa por el punto medio de $AC$.
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 5:43 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P2
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P2

En cada casilla de un tablero de $8\times 8$ se escribe un número natural, de forma que sin importar cómo se cubra el tablero con dominós, la suma de los números escritos en las dos casillas que cubre cada dominó es distinta.
Decidir si es posible que todos los números sean menores o iguales que $32$.
por Gianni De Rico
Sab 06 Jul, 2019 5:38 pm
Foro: Problemas
Tema: Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P1
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Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P1

Hay $100$ niños parados en fila, cada uno de ellos tiene $100$ caramelos. En cada paso, uno de ellos reparte algunos de sus caramelos entre otros de los niños.
Hallar el menor número de pasos necesarios para que no haya dos niños con la misma cantidad de caramelos.