Se encontraron 1244 coincidencias

por Gianni De Rico
Sab 04 Jul, 2020 9:31 pm
Foro: Problemas
Tema: Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 6)
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Re: Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 6)

Una solución con vectores dedicada a Turko Arias : Sean $ABCDEF$ el hexágono, $PQRS$ el paralelogramo (con $P$ en $AB$), y $O$ el centro de $ABCDEF$. Por la condición del enunciado, $O$ es también el centro de $PQRS$. Tenemos entonces que $[PQRS]=4[POQ]$ y $[ABCDEF]=6[AOB]$, luego$$[PQRS]\leqslant \...
por Gianni De Rico
Sab 04 Jul, 2020 3:24 pm
Foro: Problemas
Tema: Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 5)
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Re: Entrenamiento Iberoamericana 1998 (Problema 5)

Solución: Sea $S_n=\sum \limits _{i=0}^{n-1}4^i=\dfrac{4^n-1}{3}$, y sea $P_n=(1)(1+4)\ldots \left (1+4+\ldots +4^{n-1}\right )=\prod \limits _{i=1}^nS_i=\prod \limits _{i=1}^n\dfrac{4^i-1}{3}$. Queremos ver que $\nu _3(n!)=\nu _3(P_n)$, lo hacemos por inducción en $n$. El caso base $n=2$ es cierto...
por Gianni De Rico
Lun 22 Jun, 2020 6:32 pm
Foro: Geometría
Tema: Teorema de Pitágoras
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Re: Teorema de Pitágoras

Edit: Esta demo es muy teórica, pero dentro de todo me pareció linda. Fin edit (?) Una más: Consideremos la circunferencia $\Omega$ de centro $B$ y radio $BA$, luego, $AC$ es tangente a $\Omega$, entonces por Potencia de un Punto tenemos que$$AC^2=\text{Pot}(C,\Omega )=BC^2-AB^2$$de donde$$AB^2+AC^2...
por Gianni De Rico
Lun 22 Jun, 2020 6:16 pm
Foro: Geometría
Tema: Potencia de un punto con respecto a una circunferencia
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Re: Potencia de un punto con respecto a una circunferencia

Buenas, vengo a dejar las demostraciones. Veamos primero que si dos rectas $r$ y $s$ pasan por $P$ y cortan a $\Omega$ en los puntos $A,B$ y $A',B'$, respectivamente, entonces $PA\cdot PB=PA'\cdot PB'$. Consideramos dos casos según $P$ sea exterior o interior a $\Omega$. Caso 1: $P$ es exterior a $\...
por Gianni De Rico
Lun 22 Jun, 2020 3:37 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: XXXVI Torneo de las Ciudades Otoño 2014 NM P6
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Re: XXXVI Torneo de las Ciudades Otoño 2014 NM P6

Si entendí bien el problema, esto debería funcionar Sea $ABC$ el triángulo (con $\angle A=x$, $\angle B=y$, $\angle C=z$) y sean $D,E,F$ los puntos de doblez en los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. Tenemos que $\angle FAE=x-1°$, $\angle DBF=y-1°$ y $\angle ECD=z-1°$. Digamos que $\angle CBD=\alpha...
por Gianni De Rico
Lun 22 Jun, 2020 1:11 pm
Foro: Geometría
Tema: Conjugados Isogonales
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Re: Conjugados Isogonales

Otra forma de probar la igualdad que usa Ivan Demostración: Manteniendo la notación de Ivan, sean $Q$ el segundo punto de intersección de $AD$ y el circuncírculo de $ABC$, y $Q'$ el segundo punto de intersección de $AD'$ y el circuncírculo de $ABC$. Tenemos entonces por arco capaz que$$\begin{align*...
por Gianni De Rico
Vie 19 Jun, 2020 9:08 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Rioplatense 2013 N2 P5
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Re: Rioplatense 2013 N2 P5

Es Río 2008 N3 P5 con un excírculo en vez del incírculo. Y sale de la misma forma...
por Gianni De Rico
Sab 13 Jun, 2020 9:49 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Selectivo Cono Sur, Perú 2019. Problema 1
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Re: Selectivo Cono Sur, Perú 2019. Problema 1

HelcsnewsXD escribió:
Vie 12 Jun, 2020 7:02 pm
Pd.: Pongo dos veces a=b+1. En realidad la última oración de ese párrafo puede sacarse.
Capaz no estoy entendiendo bien, pero ¿Qué pasa si $a\neq b+1$? Me parece que estás analizando un sólo caso.
por Gianni De Rico
Vie 12 Jun, 2020 1:32 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Mayo 2017 Problema 3 Nivel 1
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Re: Mayo 2017 Problema 3 Nivel 1

Solución: Probablemente haya mejores, pero esto es un buen recurso : https://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=6&t=4488 Puede hacerse sin ese recurso, tomando tu dibujo tenemos que... Si $h$ es la altura a $BE$ desde $A$ en $BAFE$, su área es $BE\cdot h=BA\cdot h=13\cdot h$, usando que los lados de u...
por Gianni De Rico
Mié 10 Jun, 2020 4:03 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Ibero 2017 - P2
Respuestas: 4
Vistas: 2398

Re: Ibero 2017 - P2

Bueno... Ibero 2017 P2.png Sean $G$ el segundo punto de intersección de $EF$ y $\Gamma$, y $H$ el segundo punto de intersección de $AD$ y $\Gamma$. Notemos que $\angle DAB=\angle DAE=\angle AFE=\angle AFG=\angle ABG$, de donde $BG\parallel AD$, entonces $BG\cap AD=P_{\infty AD}$. Consideremos la tra...