Se encontraron 176 coincidencias

por Matías
Lun 29 Jul, 2019 12:03 am
Foro: Teoría de Numeros
Tema: IMO 2019 - P4
Respuestas: 6
Vistas: 529

Re: IMO 2019 - P4

Para $n=1$ tenemos que $\prod_{i=0}^{n-1}(2^n-2^i)=(2-1)=1=1!$, el par $(1,1)$ cumple. Para $n=2$ tenemos que $\prod_{i=0}^{n-1}(2^n-2^i)=(4-1)(4-2)=6=3!$, el par $(3,2)$ cumple. Para $n=3$ tenemos que $\prod_{i=0}^{n-1}(2^n-2^i)=(8-1)(8-2)(8-4)=168$ no es factorial, así que $n\neq 3$. Para $n=4$ t...
por Matías
Mié 01 May, 2019 7:36 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Primer Pretorneo 2019 NM P4
Respuestas: 1
Vistas: 385

Primer Pretorneo 2019 NM P4

Un número entero de $9$ dígitos se dice hermoso si todos sus dígitos son distintos. Demostrar que hay al menos $1000$ números hermosos que son múltiplos de $37$.
por Matías
Mié 01 May, 2019 7:33 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Primer Pretorneo 2019 NM P3
Respuestas: 3
Vistas: 422

Primer Pretorneo 2019 NM P3

Facu tiene 5 monedas del mismo aspecto pero colores distintos, tres de ellas son auténticas y de igual peso, y las dos restantes son falsas: una pesa más que las auténticas y la otra pesa menos que las auténticas. En ambos casos, la diferencia de peso entre la auténtica y la falsa es el mismo. Facu ...
por Matías
Mié 01 May, 2019 7:26 pm
Foro: Geometría
Tema: Primer Pretorneo 2019 NM P2
Respuestas: 2
Vistas: 1332

Primer Pretorneo 2019 NM P2

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $B$. Una circunferencia que pasa por $B$ y por el punto medio de la hipotenusa $AC$ corta a los otros dos lados en $M$ y $N$. Si $AC=2MN$, demostrar que $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados.
por Matías
Mié 01 May, 2019 7:23 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Primer Pretorneo 2019 NM P1
Respuestas: 1
Vistas: 283

Primer Pretorneo 2019 NM P1

Determinar todos los números enteros positivos $n$ para los que es posible dividir al conjunto de $2n$ números $1$, $2$, $\ldots$, $2n$ en $n$ parejas tales que si en cada pareja se efectúa la suma de los dos números y luego se multiplican las $n$ sumas, el resultado es un cuadrado perfecto.
por Matías
Mié 17 Abr, 2019 11:59 pm
Foro: General
Tema: FOFO de Pascua 2019
Respuestas: 56
Vistas: 2741

Re: FOFO de Pascua 2019

Me inscribo
por Matías
Vie 15 Feb, 2019 12:20 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
Respuestas: 1229
Vistas: 176270

Re: Maratón de Problemas

Problema 333

¿Cuáles números son múltiplos de $333$ en la sucesión $1$, $11$, $111$, $1111$, $\ldots$?
por Matías
Jue 14 Feb, 2019 11:13 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
Respuestas: 1229
Vistas: 176270

Re: Maratón de Problemas

Solución 332 Notemos que si existen dos monstruos distintos con códigos $a$ y $b$, existe un monstruo con el código $ax+by$ $\forall x,y\in N$, ya que existe un monstruo con el código $a+b=a\times 1+b\times 1$, y si se cumple para $(x,y)$ se cumple para $(x+1,y)$ (existe un monstruo con el código $(...
por Matías
Sab 09 Feb, 2019 8:09 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
Respuestas: 1229
Vistas: 176270

Re: Maratón de Problemas

Problema 329 Se tiene un tablero con forma de triángulo equilátero de lado $2019$ dividido en $2019^2$ casillas, cada una de las cuales es un triángulo equilátero de lado $1$. Un zafiro es una ficha que ocupa exactamente dos casillas del tablero con un lado en común. Tres jugadores, Fulvio, Franco ...
por Matías
Sab 09 Feb, 2019 3:05 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
Respuestas: 1229
Vistas: 176270

Re: Maratón de Problemas

Solución 328
Spoiler: mostrar
Si tomamos $a=2021!+2$ y $b=2022!+2$ tenemos que $2+i\mid 2021!+2+i$ y que $2+i\mid 2022!+2+i$ $\forall(i\in N_0\wedge i\leq 2019)$.