Se encontraron 189 coincidencias

por Matías
Jue 12 Sep, 2019 4:39 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P12
Respuestas: 0
Vistas: 38

Entrenamiento Ibero 2019 P12

Sea $a$ un número primo impar. Decimos que un número es olímpico si es de la forma $a^q-1$ donde $q$ es un número primo. Sea $C$ un conjunto de números primos tal que (a) Cualquier divisor primo de un número olímpico está en $C$. (b) Para cualesquiera $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_k$ primos que pertene...
por Matías
Jue 12 Sep, 2019 4:35 pm
Foro: Geometría
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P11
Respuestas: 0
Vistas: 19

Entrenamiento Ibero 2019 P11

Sean $A_1H_1$, $A_2H_2$ y $A_3H_3$ las alturas y $A_1L_1$, $A_2L_2$ y $A_3L_3$ las bisectrices de un triángulo acutángulo $A_1A_2A_3$. Demostrar que área($L_1L_2L_3$)$\geq$área($H_1H_2H_3$).
por Matías
Jue 12 Sep, 2019 4:33 pm
Foro: Geometría
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P10
Respuestas: 0
Vistas: 20

Entrenamiento Ibero 2019 P10

$ABC$ es un triángulo con incentro $I$. Se construyen puntos $P$ y $Q$ tales que $AB$ es bisectriz de $\angle{IAP}$, $AC$ es bisectriz de $\angle{QAI}$ y $\angle{PBI}+\angle{IAB}=\angle{QCI}+\angle{IAC}=90°$. Las rectas $IP$, $IQ$ cortan $AB$, $AC$ en $K$, $L$ respectivamente. Las circunferencias ci...
por Matías
Jue 12 Sep, 2019 4:28 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P9
Respuestas: 0
Vistas: 18

Entrenamiento Ibero 2019 P9

Sea $X$ un conjunto con $n$ elementos. Probar que el número de pares $(A,B)$ tales que $A$, $B$ son subconjuntos de $X$, $A$ es un subconjunto de $B$ y $A\neq B$ es igual a $3^n-2^n$.
por Matías
Jue 12 Sep, 2019 4:23 pm
Foro: Teoría de Numeros
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P8
Respuestas: 0
Vistas: 19

Entrenamiento Ibero 2019 P8

Se dice que un número $n$ es flipante si existen tripletas de enteros positivos $(a,b,c)$ tales que
$$a^2-bc=p$$
$$b^2-ac=q$$
$$c^2-ab=1$$
con $p$ y $q$ enteros no nulos, y la ecuación:
$p^2x^2-nx+q^2=0$
admite soluciones enteras en $x$.
¿Será $2018$ un número flipante?
por Matías
Jue 12 Sep, 2019 4:19 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P7
Respuestas: 0
Vistas: 18

Entrenamiento Ibero 2019 P7

Decimos que una sucesión creciente de enteros positivos $a_1<a_2<\ldots<a_n$ es buena si para cada $2\leq k\leq n-1$ se cumple que $a_{k-1}a_{k+1}$ divide a $a_k^4$. (a) Demostrar que existe una sucesión buena con $n=10^6+1$ tal que $a_{10^6}=6^{2018}$. (b) Demostrar que no existe ninguna sucesión b...
por Matías
Jue 12 Sep, 2019 4:16 pm
Foro: Geometría
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P6
Respuestas: 0
Vistas: 17

Entrenamiento Ibero 2019 P6

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro, $\Gamma$ su circunferencia circunscrita y $M$ el punto medio del lado $BC$. Supongamos que existen dos puntos $P$, $Q$ distintos en la recta $IM$ tales que $PB=PI$ y $QC=QI$. Sea $G$ el punto de intersección de las rectas $PB$ y $QC$. Probar que la recta $IG$...
por Matías
Jue 12 Sep, 2019 4:12 pm
Foro: Algebra
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P5
Respuestas: 0
Vistas: 19

Entrenamiento Ibero 2019 P5

Sean $a$, $b$, $c$ números reales del intervalo $[3,7]$. Demostrar que
$$\frac{a}{42+c(a+b+1)}+\frac{b}{42+a(b+c+1)}+\frac{c}{42+b(c+a+1)}\geq\frac{1}{7}$$
por Matías
Jue 12 Sep, 2019 2:45 pm
Foro: Combinatoria
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P4
Respuestas: 0
Vistas: 14

Entrenamiento Ibero 2019 P4

Se tienen $2017$ cajas en una fila numeradas del $1$ al $2017$. En cada una de ellas se pondrán algunas bolitas de colores de manera que cada bolita sea de alguno de $2017$ colores distintos. Un acomodo de bolitas en las cajas es confiable si se cumplen las siguientes condiciones: (a) Si dos bolitas...
por Matías
Jue 12 Sep, 2019 2:35 pm
Foro: Geometría
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P3
Respuestas: 0
Vistas: 17

Entrenamiento Ibero 2019 P3

Sea $ABCD$ un paralelogramo. La circunferencia $S_1$ pasa por el vértice $C$ y es tangente a los lados $BA$ y $AD$ en los puntos $P_1$ y $Q_1$ respectivamente. La circunferencia $S_2$ pasa por el vértice $B$ y es tangente a los lados $DC$ y $AD$ en los puntos $P_2$ y $Q_2$ respectivamente. Sean $d_1...