Se encontraron 201 coincidencias

por Matías
Dom 22 Dic, 2019 11:11 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P20
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Entrenamiento Ibero 2019 P20

Para cada entero positivo $n$ definimos la siguiente sucesión: $a_1=n$ y para cada $k\geq 2$, $a_k$ es el menor múltiplo de $k$ mayor o igual que $a_{k-1}$. Decimos que el entero positivo $n$ es bueno si $a_k\neq a_{k-1}$ para todo entero positivo $k$. Demostrar que existen infinitos enteros positiv...
por Matías
Dom 22 Dic, 2019 11:03 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P19
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Entrenamiento Ibero 2019 P19

En el triángulo $ABC$, la circunferencia inscrita $\omega$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$, $F$ respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $DE$ y $DF$ respectivamente. Se consideran puntos $D'$, $E'$, $F'$ en la recta $MN$ tales que $D'E=D'F$, $BE'||DF$ y $...
por Matías
Dom 22 Dic, 2019 10:50 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P18
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Entrenamiento Ibero 2019 P18

Demostrar que para todas las ternas $(x,y,z)$ de números positivos se cumple la desigualdad
$$\frac{x}{\sqrt{3y^2+3z^2+2yz}}+\frac{y}{\sqrt{3z^2+3x^2+2zx}}+\frac{z}{\sqrt{3x^2+3y^2+2xy}}\geq\frac{3}{8}$$
por Matías
Dom 22 Dic, 2019 10:42 pm
Foro: Problemas Archivados de Álgebra
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P16
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Entrenamiento Ibero 2019 P16

Determinar si existen polinomios no constantes $P(x)$ y $Q(x)$ de coeficientes reales que satisfacen $P(x)^{10}+P(x)^9=Q(x)^{21}+Q(x)^{20}$.
por Matías
Dom 22 Dic, 2019 10:40 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P15
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Entrenamiento Ibero 2019 P15

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$ y $H$ su ortocentro. Sean $D$ y $E$ las intersecciones de $BH$ y $CH$ con $AC$ y $AB$ respectivamente, y $P$ el pie de la perpendicular de $A$ a $DE$. El circuncírculo de $BPC$ corta a $DE$ en un punto $Q\neq P$. Demostrar que las rectas $AP$ y $QH$ ...
por Matías
Dom 22 Dic, 2019 10:36 pm
Foro: Problemas Archivados de Teoría de Números
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P14
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Entrenamiento Ibero 2019 P14

Sea $n\geq 3$ entero, y sea $1\leq a<2^n$ un entero impar. Definimos $c(a)$ como el menor entero no negativo tal que $a^{2^{c(a)}}-1$ es múltiplo de $2^n$. Hallar el valor de la suma
$$\sum_{k=1}^{2^{n-1}}c(2k-1)$$
por Matías
Dom 22 Dic, 2019 10:33 pm
Foro: Problemas Archivados de Geometría
Tema: Entrenamiento Ibero 2019 P13
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Entrenamiento Ibero 2019 P13

Dos puntos del plano se dicen que están unodostresados o que uno de ellos está unodostresado con el otro si la longitud del segmento que los une es una de las cantidades $\{1,2,3\}$. Determinar el mayor número posible de puntos en el plano que pueden existir con la propiedad de que cada punto esté u...
por Matías
Dom 22 Dic, 2019 8:43 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Problema 341

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales tales que $abc=1$. Demostrar que
$$a^2+b^2+c^2\geq a+b+c$$
por Matías
Dom 22 Dic, 2019 8:31 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Solución 340 Los estudiantes pueden ejecutar la siguiente estrategia: Cada uno de ellos le responde al profesor que la cantidad de aprobados será la cantidad de alumnos que aprobarían si el profesor lo reprueba a él y aprueba a todos los alumnos que le siguen. Dicho de otra forma, el n-ésimo alumno ...
por Matías
Jue 28 Nov, 2019 3:25 pm
Foro: Problemas
Tema: Maratón de Problemas
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Re: Maratón de Problemas

Problema 339

Hallar todos los tríos $(x,y,z)$ de números enteros tales que

$$2^x+2017^y=2019^z$$