OMA Foros

Hola a todos!

Este post está destinado a exolímpicos y docentes que estén interesados en entrenar a participantes de olimpíadas. Con un grupo de exolímpicos notamos la necesidad de tener su contacto, para poder hacer de nexo entre entrenadores y participantes/colegios que estén buscándolos.

Los invito a llenar el siguiente formulario: https://forms.gle/2cuaPJmrnRdAqCeR9

Toda la información que les pedimos tiene como único fin el mencionado y sólo se compartirá entre la comunidad olímpica.

Les pedimos que compartan el formulario con sus conocidos para lograr tener el contacto de la mayor cantidad de gente posible.

Se considera una cuadrícula de $2025\times 2025$ cuadrados unitarios. Matilde desea colocar algunas fichas rectangulares sobre la cuadrícula, que pueden ser de tamaños distintos, de modo que cada lado de cada ficha se encuentra sobre una línea de la cuadrícula y cada cuadrado unitario está cubierto por a lo más una ficha.

Determine el número mínimo de fichas que Matilde necesita colocar de modo que cada fila y cada columna de la cuadrícula tiene exactamente un cuadrado unitario que no está cubierto por ninguna ficha.

Alicia y Beto están jugando al juego del koala, un juego para dos jugadores cuyas reglas dependen de un número real positivo $\lambda$, que ambos jugadores conocen. En el $n$-ésimo turno del juego (comenzando con $n=1$) ocurre lo siguiente:

Si $n$ es impar, Alicia elige un número real no negativo $x_n$ tal que $$x_1+x_2+\cdots +x_n\leqslant \lambda n.$$
Si $n$ es par, Beto elige un número real no negativo $x_n$ tal que $$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2\leqslant n.$$

Si uno de los jugadores ya no puede elegir un número $x_n$, el juego termina y el otro jugador gana. Si el juego continúa indefinidamente, ninguno de los jugadores gana. Ambos jugadores siempre conocen los números elegidos.
Determine todos los valores de $\lambda$ para los cuales Alicia tiene una estrategia ganadora, y todos los valores de $\lambda$ para los cuales Beto tiene una estrategia ganadora.

Un divisor propio de un entero positivo $N$ es un divisor positivo de $N$ distinto de $N$.
La sucesión infinita $a_1,a_2,\ldots$ consiste de enteros positivos, cada uno de los cuales tiene al menos tres divisores propios. Para cada $n\geqslant 1$, el entero $a_{n+1}$ es la suma de los tres mayores divisores propios de $a_n$.
Determine todos los valores posibles de $a_1$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos Una funcion $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ se llama genial si$$f(a)\;\text{divide a}\;b^a-f(b)^{f(a)}$$para todos los enteros positivos $a$ y $b$.

Determine la menor constante real $c$ tal que $f(n)\leq cn$ para todas las funciones geniales $f$ y todos los enteros positivos $n$.

Sean $\Omega$ y $\Gamma$ circunferencias de centros $M$ y $N$, respectivamente, tales que el radio de $\Omega$ es menor que el radio de $\Gamma$. Supongamos que las circunferencias $\Omega$ y $\Gamma$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. La recta $MN$ corta a $\Omega$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$, de forma que los puntos $C$, $M$, $N$ y $D$ están sobre esa recta en ese orden. Sea $P$ el circuncentro del triángulo $ACD$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Omega$ en $E\neq A$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $F\neq A$. Sea $H$ el ortocentro del triangulo $PMN$.

Demuestre que la recta paralela a $AP$ que pasa por $H$ es tangente al circuncírculo de del triángulo $BEF$.

(El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de sus alturas.)

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