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Hola a todos!

Este post está destinado a exolímpicos y docentes que estén interesados en entrenar a participantes de olimpíadas. Con un grupo de exolímpicos notamos la necesidad de tener su contacto, para poder hacer de nexo entre entrenadores y participantes/colegios que estén buscandolos.

Los invito a llenar el siguiente formulario: https://forms.gle/2cuaPJmrnRdAqCeR9

Toda la información que les pedimos tiene como único fin el mencionado y sólo se compartirá entre la comunidad olímpica.

Les pedimos que compartan el formulario con sus conocidos para lograr tener el contacto de la mayor cantidad de gente posible.

Este lema es la generalizacion de un problema de entrenamiento, considero que es bastante fuerte porque el enunciado no condiciona demasiado la configuración.

El lema dice así:
Sean $ABC$ un triángulo, $AD, BE$ y $CF$ tres cevianas concurrentes. Sean $P$ un punto en el plano, $K, L$ y $M$ las intersecciones de $AP$ con $EF$, $BP$ con $DF$ y $CP$ con $DE$, respectivamente. Entonces, $KD, LE$ y $MF$ concurren.

Prueba:

Spoiler: mostrar: Para la prueba vamos a tomar $P$ interior al $\triangle ABC$ y al $\triangle DEF$(los otros casos son analogos).

Sean $J$ el conjugado armónico de $D$, respecto a $BC$, y $G=AD\cap{EF}, H=ML\cap{EF}, I=ML\cap{BC}$

Queremos ver $(EFKH)=-1$
Por definición de conjugado armónico $J\in{EF}$
$\Rightarrow (EFGJ)\overset{A}{=}(CBDJ)=-1$ (1)

Ahora, por DDIT(dual del teorema de involución de Desargues), aplicado a $A$ y a $EMLF$: $(AD, AH), (AE, AL), (AF, AM)$ son pares de una involución.

Analogamente, por DDIT, aplicado a $A$ y a $BLMC$: $(AP, AI), (AC, AL), (AB, AM)$ son pares de una involución.

Como $E$ y $F$ estan contenidos en $AC$ y $AB$, respectivamente, tenemos que estas involuciones comparten dos pares. Luego $(AD, AH), (AE, AL), (AF, AM), (AP, AI)$ son pares recíprocos de una misma involución. (2)
Luego:
$\begin{align*}A(EFPJ)&\overset{(1)}{=}-A(EFPD)\\&\overset{(2)}{=}-A(LMIH)\\&=-(LMIH)\\&\overset{D}{=}-(FEJH)\\&=-A(FEJH)\\&\overset{(1)}{=}A(FEDH)\\&=A(EFHD)\end{align*}$

Sea $H'$ el inverso de $K$, respecto a la circunferencia de diámetro $EF$. Por (1) sabemos que $G$ y $J$ son inversos respecto a dicha circunferencia. (*)
Finalmente:
$\begin{align*}(EFH'G)&\overset{(*)}{=}(EFKJ)\\&=A(EFPJ)\\&=A(EFHD)\\&=(EFHG)\end{align*}$

$\Rightarrow H\equiv{H'}$

$\Rightarrow (EFKH)=-1$ $\blacksquare$
IMG-20250314-WA0000.jpg
(me olvidé de trazar $KD, LE$ y $MF$)

Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales es posible escribir todos los divisores positivos de $6^n$ alrededor de una circunferencia, en algún orden, de tal manera que el producto de cualesquiera dos números vecinos sea un cuadrado perfecto o un cubo perfecto.

Determine todos los números enteros $n\geq 3$ para los cuales es posible escribir los números $1,2,\ldots ,n$ alrededor de una circunferencia, en algún orden, de tal manera que la suma de cualesquiera dos números vecinos sea múltiplo de $3$ o múltiplo de $5$.

Manuel compró un pancho y una gaseosa por $\$42$. El pancho costaba $\$25$. Adrián fue al mismo lugar y compró un pancho, dos gaseosas y tres helados; pagó $\$80$ en total. ¿Cuál es el precio de una gaseosa? ¿Cuál es el precio de un helado?

Para cada entero positivo $n$ sea $a_n$ el último dígito del número $1+2+3+\cdots +n$. Calcular $a_1+a_2+\cdots +a_{1992}$.

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