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Resultados FOFO 14 Años

Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios. En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para el primer puesto (en este caso, el participante que obtuvo al menos 50 puntos) se otorga una Copa Especial, para los siguientes 4 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 42 y 49 puntos) se otorga una Medalla Especial, y para los siguientes 10 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 21 y 41 puntos) se otorga una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!

Spoiler: mostrar: \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{BR1} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{Ignacio Daniele} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{4} & \text{lola.m} &\text{Medalla Especial}\\ \hline
\text{4} & \text{marcoalonzo} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{6} & \text{Ulis7s} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Emily in Paris} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Majamar} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Manuel galli} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{10} & \text{riquelme10xd} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{drynshock} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{rayo5555} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{Luxcas213} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{Esteban Quito} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{magnus} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicitaciones a todos!

En un torneo de ajedrez cada jugador ha jugado dos partidas con cada uno de los otros, una vez con blancas y otra con negras. En cada partida el ganador recibe un punto, y en caso de empate, ambos reciben $0.5$ puntos. Al final del torneo, todos los jugadores finalizaron con igual número de puntos.

Demostrar que hay dos jugadores que tienen igual número de empates.
Demostrar que hay dos jugadores que tienen igual número de derrotas jugando con blancas.

Las diagonales de un trapecio $ABCD$ son perpendiculares y se cortan en $O$. Además $\angle A=90^\circ$, $AB\parallel CD$, y $AB>CD$. $E$ es el punto de $AD$ tal que $OE$ es la bisectriz de $\angle AOD$, y $F$ es el punto de $BC$ tal que $EF\parallel AB$. Denotemos $P$ y $Q$, respectivamente, las intersecciones del segmento $EF$ con las diagonales $AC$ y $BD$. Demostrar que:

$EP=QF$;
$EF=AD$.

Consideramos el conjunto $A = \left\{ n \in \mathbb{N} \, \big | \, 1 < \sqrt{1 + \sqrt{n}} < 2 \right\}$.

Hallar el conjunto $A$.
Hallar el conjunto de números $n\in A$ tales que $\sqrt{n} \cdot \left| 1-\sqrt{1 + \sqrt{n}}\right| <1$.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en una circunferencia $\omega$, y consideramos un punto $M$ en el arco $\overparen{BC}$ que no contiene a $A$. Las tangentes desde $M$ a la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ intersecan a la circunferencia $\omega$ en los puntos $N$ y $P$. Demostrar que si $\angle BAC= \angle NMP$, entonces los triángulos $ABC$ y $MNP$ son iguales.

Se tiene un tablero de $8\times8$ dividido en $64$ casillas. En cada casilla está escrito un $1$ o un $-1$ de modo que en todo subtablero de $2\times2$ la suma de los cuatro números es $2$ ó $-2$. Demostrar que existen dos filas del tablero con los mismos números y en el mismo orden.

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