OMA Foros

Hola a todos!

Este post está destinado a exolímpicos y docentes que estén interesados en entrenar a participantes de olimpíadas. Con un grupo de exolímpicos notamos la necesidad de tener su contacto, para poder hacer de nexo entre entrenadores y participantes/colegios que estén buscándolos.

Los invito a llenar el siguiente formulario: https://forms.gle/2cuaPJmrnRdAqCeR9

Toda la información que les pedimos tiene como único fin el mencionado y sólo se compartirá entre la comunidad olímpica.

Les pedimos que compartan el formulario con sus conocidos para lograr tener el contacto de la mayor cantidad de gente posible.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC$ menor que $AB$ tal que la circunferencia $\Gamma$ que pasa por $A$, $B$ y $C$ tiene radio $R$. Sea $D$ el punto de $BC$ tal que $AD$ es altura del triángulo. Consideramos el punto $T$ en la recta $AD$ tal que $AT=2R$, con $D$ ubicado entre $A$ y $T$. Finalmente, sea $S$ el punto medio del arco $\overparen{BC}$ de la circunferencia $\Gamma$ que no contiene a $A$. Demostrar que $A\widehat ST=90^\circ$.

En cada vértice de un polígono regular de $248$ lados hay una moneda. En cada paso, se eligen dos monedas y se desplazan exactamente un lugar, una moneda hacia la derecha y la otra hacia la izquierda. Determinar si repitiendo estos pasos se puede lograr que todas las monedas queden en

$8$ pilas de $31$ monedas cada una;
$31$ pilas de $8$ monedas cada una.

Dado un triángulo acutángulo $ABC$, sean $M$ el punto medio del lado $AC$, $K$ el punto del circuncírculo de $ABC$ tal que $\angle AKM=90^\circ$, y $H$ el pie de la altura por $A$.

Los segmentos $BK$ y $AM$ se cortan en $X$. Los segmentos $BM$ y $AH$ se cortan en $Y$.

Demuestra que $XY\parallel AB$.

Sean $\alpha$ y $\beta$ números reales con $\beta \neq 0$.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que cumplen que$$f(\alpha f(x)+f(y))=\beta x+f(y)$$para todos los reales $x$ y $y$.

Prueba que si cada punto del plano se colorea con uno de los colores rojo o azul, entonces forzosamente hay tres puntos del mismo color que son los vértices de un triángulo rectángulo con ángulos agudos de $30^\circ$ y $60^\circ$, y con hipotenusa de longitud $1$.

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