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Resultados FOFO 14 Años

Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios. En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para el primer puesto (en este caso, el participante que obtuvo al menos 50 puntos) se otorga una Copa Especial, para los siguientes 4 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 42 y 49 puntos) se otorga una Medalla Especial, y para los siguientes 10 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 21 y 41 puntos) se otorga una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!

Spoiler: mostrar: \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{BR1} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{2} & \text{Ignacio Daniele} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{4} & \text{lola.m} &\text{Medalla Especial}\\ \hline
\text{4} & \text{marcoalonzo} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{6} & \text{Ulis7s} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Emily in Paris} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Majamar} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Manuel galli} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{10} & \text{riquelme10xd} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{drynshock} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{11} & \text{rayo5555} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{13} & \text{Luxcas213} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{Esteban Quito} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{magnus} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicitaciones a todos!

El producto de dos números del conjunto $\{1;2;3;...;26\}$ es igual a la suma de los restantes. Encontrar dichos números.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero con circuncírculo $\omega$. Sea $E$ un punto fijo del segmento $AC$. Sea $M$ un punto de $\omega$, y sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AM$ y $BD$. La recta $EP$ corta a las rectas $AB$ y $AD$ en los puntos $R$ y $Q$, respectivamente; $S$ es la intersección de $BQ$ y $DR$, y las rectas $MS$ y $AC$ se cortan en $T$. Demostrar que, al variar $M$, el circuncírculo del triángulo $CMT$ pasa por un punto fijo distinto de $C$.

Aclaración: El circuncírculo de un triángulo es la circunferencia que pasa por sus tres vértices.

En un triángulo $ABC$ sea $P$ un punto interior tal que $B\widehat PC=90^\circ$ y $B\widehat AP=P\widehat AC$. Sea $D$ la proyección de $P$ sobre el lado $BC$. Sean $M$ y $N$ los incentros de los triángulos $ABD$ y $ADC$, respectivamente. Demostrar que el cuadrilátero $BMNC$ es cíclico.

En el triángulo $ABC$ sea $D$ el pie de la altura trazada desde $A$ al lado $BC$ y sean $I,I_A,I_C$ el incentro, el excentro correspondiente a $A$ y el excentro correspondiente a $C$, respectivamente. Sean $P\neq B$ y $Q\neq D$ los otros puntos de intersección de la circunferencia $BDI_C$ con las rectas $BI$ y $DI_A$, respectivamente. Demostrar que $AP=AQ$.

Aclaración: El incentro es el centro del incírculo. El excentro correspondiente a $X$ en un triángulo $XYZ$ es el centro de la circunferencia tangente a las prolongaciones de los lados $XY$ y $XZ$, y también tangente al lado $YZ$.

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$, sea $P$ un punto del lado $CD$ tal que $C\widehat BP=90^\circ$. Sea $K$ el punto de intersección de $AC$ y $BP$. Se cumple que $AK=AP=AD$. Sea $H$ la proyección de $B$ sobre la recta $AC$. Demostrar que $A\widehat PH=90^\circ$.

Aclaración: Un cuadrilátero cíclico es el que tiene sus $4$ vértices sobre una circunferencia.

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