OMA Foros

Un tablero de $9\times 9$ tiene escrito un número en cada casilla: todas las casillas de la primera fila tienen $1$, todas las casillas de la segunda fila tienen $2$, $\ldots$, todas las casillas de la novena fila tienen $9$.
Llamaremos rectángulo especial a cualquier rectángulo de $2\times 3$ ó de $3\times 2$ ó de $4\times 5$ ó de $5\times 4$ del tablero.
Las operaciones permitidas son:

Sumar simultáneamente $1$ a todos los números ubicados en un rectángulo especial.
Restar simultáneamente $1$ a todos los números ubicados en un rectángulo especial.

Demostrar que es posible lograr, mediante una sucesión de operaciones permitidas, que $80$ a casillas tengan el $0$ (cero). ¿Qué número queda en la casilla restante?

Sea $A$ un conjunto infinito de puntos en el plano tal que en el interior de cada circunferencia hay sólo un número finito de puntos de $A$, con las siguientes propiedades:

$(0, 0)$ pertenece a $A$.
Si $(a, b)$ y $(c, d)$ pertenecen a $A$, entonces $(a-c, b-d)$ pertenece a $A$.
Existe un valor de $\alpha$ tal que al rotar el conjunto $A$ con centro en $(0, 0)$ y ángulo $\alpha$, se obtiene nuevamente el conjunto $A$.

Demostrar que $\alpha$ debe ser igual a $\pm 60^{\circ}$ ó $\pm 90^{\circ}$ ó $\pm 120^{\circ}$ ó $\pm 180^{\circ}$.

Un rectángulo está dividido en $9$ rectangulitos como mediante paralelas a sus lados, como muestra la figura.

rectángulos.png

Los cuatro número escritos indican las áreas de los cuatro rectangulitos correspondientes.
Demostrar que el área total del rectángulo es mayor o igual que $90$.

Dados en el plano el cuadrado $ABCD$, el cuadrado $A_1B_1C_1D_1$, más chico que el primero, y un cuadrilátero $PQRS$ que satisfacen las siguientes condiciones

$ABCD$ y $A_1B_1C_1D_1$ tienen el centro común y los lados respectivamente paralelos.
$P$, $Q$, $R$, $S$ pertenecen uno a cada lado del cuadrado $ABCD$.
$A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ pertenecen uno a cada lado del cuadrilátero $PQRS$.

Demostrar que $PQRS$ es un cuadrado.

¿Para qué valores enteros positivos de $x$ es $x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 3x + 31$ un cuadrado perfecto?

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Nivel 3 Problema 6 ¿Nacional 1994?

Nivel 3 Problema 5 ¿Nacional 1994?

Nivel 3 Problema 4 ¿Nacional 1994?

Nivel 3 Problema 3 ¿Nacional 1994?

Nivel 3 Problema 2 ¿Nacional 1994?