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La verdad no recuerdo que haya una mención completa de ello en este foro, pero sí lo vi en aops con otro nombre.. así que aquí va

Supongamos que queremos hallar todas las soluciones enteras a la siguiente ecuación:

$$4x -3y + xy = 25$$

¿Un poco complicado, no? Pero si queremos hallar todas las soluciones enteras a la siguiente ecuación:

$$A \cdot B = 37$$

Ahora todo parece fácil (¿me van a decir que no?). Veamos cómo ir de la primer ecuación a la segunda.

Definición: Una expresión linda va a ser una expresión de la forma $Ax + By + Cxy$. Notemos que la $x$ aparece una vez solita, la $y$ también aparece una vez solita, pero luego aparecen multiplicándose de manera molesta.

Por ejemplo, Supongamos que queremos resolver la ecuación $5x + 6y + xy = 30$. Tenemos una expresión linda a la izquierda.
¿Por qué? Porque podemos sacar factor común en los últimos dos términos

\begin{align*}5x + 6y + xy & = 30 \\
5x + y(6+x)& = 30 \end{align*}
¿Y ahora? Bueno, quisiéramos alguien más multiplicado por $(6+x)$, pero sólo tenemos un $5x$.
Si agregamos $30$ de ambos lados, vemos la magia

\begin{align*}5x + y(6+x) & = 30 \\
5x + 30 + y(6+x) &= 30+30 \\
5(6+x) + y(x+6) &= 60\\
(5+y)(6+x) &= 60 \end{align*}

¡Genial! Ahora sólo tenemos que ver cuáles son los divisores de $60$. Para cada divisor $d = 6+x$ tenemos el número $5+y = \frac{60}{d}$.

Apliquemos esto a nuestro problema original.
\begin{align*}4x - 3y + xy & = 25 \\
4x + y (x - 3) &= 25 \\
4x - 12 + y(x-3) &=25+12 \\
(x-3)(4+y) & = 37
\end{align*}

Como $37$ es primo, ¡Sólo hay cuatro soluciones!
$(x-3,y+4) = (1, 37)$,
$(x-3,y+4) = (37, 1)$,
$(x-3,y+4) = (-1, -37)$,
$(x-3,y+4) = (-37, -1)$.

En resumen, podemos ver lo siguiente

La Factorización más Linda del Mundo escribió: Toda ecuación diofántica de la forma $$Ax + By + xy = D$$ se puede transformar en un producto de la forma $$(x+B)(y+A) = N$$ para algún $N$ que depende de nuestra ecuación

Con un poco más de cuentitas, tenemos

La otra Factorización más Linda del Mundo escribió: Toda ecuación diofántica de la forma $$Ax + By + Cxy = D$$ se puede transformar en un producto de la forma $$(ax+b)(cy+d) = N$$ para algún $N$ que depende de nuestra ecuación, con $a,b,c,d \in \mathbb{Q}$

Sea $L$ el conjunto de puntos del plano cartesiano con las dos coordenadas enteras. Pruebe que para cualesquiera tres puntos $A$, $B$ y $C$ de $L$ existe un cuarto punto $D$ en $L$, distinto de $A$, $B$ y $C$, tal que el interior de los segmentos $AD$, $BD$ y $CD$ no contiene ningún punto de $L$.

Construir un pentágono conociendo los puntos medios de sus lados.

Se repartieron $10$ barras de chocolate entre algunos chicos sin que sobrara chocolate. Para darle a cada chico la misma cantidad de chocolate no fue necesario cortar ninguna barra en más de dos pedazos. ¿Cuántos chicos había y cómo se repartió el chocolate? Da todas las posibilidades.

En la suma $$\begin{array}{ccccc}

& & a & b & c \\

+ & & a & b & c \\

\hline

& d & e & f & g

\end{array}$$ Ana reemplazó cada letra por un dígito (letras diferentes corresponden a dígitos diferentes) de modo que la suma resultó correcta. Beto también reemplazó cada letra por un dígito (letras diferentes corresponden a dígitos diferentes) de modo que la suma resultó correcta. Ana obtuvo el mayor valor posible de la suma y Beto obtuvo el menor posible. Hallar los números que obtuvieron Ana y Beto.