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Resultados FOFO 13 Años

Finalmente ha llegado el momento: aquí están, estos son, los ganadores y premiados del FOFO.

Antes de que desesperadamente te muevas hacia la tabla es importante que sepas que ya están abiertos los respectivos posts de cada problema para que puedas compartir tus respuestas. El proceso de envío de las devoluciones de los puntajes puede ser un poco lento, debido a que estamos en un período de tiempo bastante neurálgico, así que tengan paciencia.

Ahora sí, sin más preámbulos, hablamos de los premios. La cantidad de participantes de esta FOFO superó con creces la de las últimas dos, incluso la de la FOFO del 10, convirtiéndose así en la FOFO más numerosa de la historia. Es por eso que decidimos entregar nuevamente la tan ansiada Copa Especial, un premio que hasta el momento había aparecido únicamente dos veces.

En esta ocasión, para determinar los premios, la única variable que se tiene en cuenta es el puntaje total obtenido. Para los primeros 6 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron al menos 36 puntos) se otorga una Copa Especial, para los siguientes 9 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 26 y 35 puntos) se otorga una Medalla Especial, y para los siguientes 9 puestos (en este caso, participantes que obtuvieron entre 21 y 25 puntos) se otorga una Mención Especial.

Bueno, sin más vueltas, los resultados!

Spoiler: mostrar: \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Puesto} & \text{Usuario} & \text{Premio}\\ \hline
\text{1} & \text{El gran Filipikachu;} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{1} & \text{Uridig} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{1} & \text{Uriel J} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{4} & \text{Ignacio Daniele} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{5} & \text{Tob.Rod} &\textbf{Copa Especial}\\ \hline
\text{6} & \text{fran :)} & \textbf{Copa Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Majamar} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{7} & \text{Edu Carranza} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{9} & \text{nitsuga} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{10} & \text{jesusmtp} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{10} & \text{Jordan.v} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{12} & \text{TitanDelSur} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{12} & \text{Tiziano Brunelli} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{14} & \text{Felibauk} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{15} & \text{jazzzg} & \text{Medalla Especial} \\ \hline
\text{16} & \text{Lean} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{16} & \text{Micaaa} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{18} & \text{4lbahaca} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{18} & \text{drynshock} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{18} & \text{florsa06} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{21} & \text{brunecesare012020} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{21} & \text{Fedee} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{21} & \text{marcoalonzo} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\text{21} & \text{miacarolina2907} & \textit{Mención Especial} \\ \hline
\end{array}

Felicitaciones a todos!

Betty quiere completar los casilleros vacíos de la figura de tal forma que cada número sea el mínimo común múltiplo de los dos números que se encuentran inmediatamente abajo suyo. Además, quiere que cada número sea distinto a los dos que están debajo suyo. ¿De cuántas formas puede hacerlo? Explicar cómo las contaron.

N3P1.png

Rafa le dice en secreto a cada uno de sus $4$ amigos un número de dos dígitos. Rafa les comunica a los $4$ que los $4$ números tienen dos dígitos y son consecutivos, además uno es múltiplo de $6$, y otro es múltiplo de $7$.

Rafa les pregunta: ¿Pueden decirme cuáles son los $4$ números? Los $4$ amigos, todos al mismo tiempo, le contestaron que no.

Habiendo escuchado que todos dijeron que no, los $4$ amigos pudieron deducir cuáles eran los $4$ números que Rafa les entregó.

¿Cuáles podrían haber sido esos $4$ números? ¿Cómo los encontraron? Dar todas las posibilidades, y explicar para las encontradas la razón por la cuál ninguno de los $4$ amigos pudo haber deducido los números, pero luego de los "no" en simultáneo sí pudieron.

Mario escribe en el pizarrón algunos números del $1$ al $6$, de menor a mayor. Todos los números que escribe Mario son distintos entre sí.

Betty escribe en el siguiente renglón del pizarrón algunos números distintos del $1$ al $6$, de menor a mayor. Todos los números que escribe Betty son distintos entre sí.

Rafa anota en su cuaderno el producto de la cantidad de números que escribió cada uno. Por ejemplo, si Mario escribe $1$, $2$, $4$, y Betty $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, entonces Rafa anota $3\times 5=15$.

Sole anota en su cuaderno el producto de la cantidad total de números distintos escritos en el pizarrón, y la cantidad de números que aparecen repetidos en los dos renglones. Por ejemplo, si Mario escribe $1$, $2$, $4$, y Betty $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, entonces Sole anota $6\times 2=12$ porque hay $6$ números distintos entre los dos renglones, y solamente $2$ repetidos.

Juan observó que si se le suma $2$ al número que escribió Sole, obtiene el número que escribió Rafa.

¿De cuántas maneras pudieron haber escrito los números Mario y Betty? Explicar cómo las contaron.

Betty colocó los números del $1$ al $8$ en los vértices del siguiente octógono regular, sin repeticiones. A continuación, Mario escribió dentro del cuadrado y de cada uno de los cuatro triángulos, la suma de sus vértices. Se sabe que los números que escribió Mario son cinco números consecutivos.

¿Cuáles son todos los posibles valores que pudo haber escrito Mario en el cuadrado central? Para cada uno de esos valores, mostrar alguna forma en que pudo haber colocado los números Betty.

N4P1.png

Tengo un tema serio con respecto a este tipo de ecuaciones, voy a adjuntar un problema para ponerlo de ejemplo

Gianni De Rico escribió: ↑Jue 05 May, 2022 7:04 pmSea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ que satisfacen $f(xf(y))=f(xy)+x$ para todos $x,y\in \mathbb{R}^+$.

Mi solución es bastante corta:

$x=1$

$f(1f(y))=f(1.y)+1$
$f(f(y))=f(y)+1$

$f(y)=c$

$f(c)=c+1$

Listo ya esta la solución. Demostrar que no hay mas funciones lineales que cumplan es bastante fácil por eso no lo adjunto.

Pregunta 1) ¿Es legal hacer este reemplazo de $x=1$? He visto en muchas soluciones que lo hacen con el objetivo de buscar los ceros de la función, pero en este caso no estaría muy seguro de porque funciona. Simplemente no me cierra el concepto de poder elegir UN solo valor de $x$ o $y$ a conveniencia para resolver el problema, ¿Que pasaría si x o y no son el valor que nosotros elegimos? ¿Seguiría valiendo para todos los casos?

Pregunta 2) ¿Como se demuestra que no hay mas funciones que cumplan? Supongo que saber que $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ me sirve para descartar funciones como el sin, cos, tan, log... pero ¿que pasa con las otras polinómicas? Algunas soluciones hablan acerca de sobreyectividad, sin embargo hay, por ejemplo, funciones cubicas que son sobreyectivas y sin embargo no cumplen.

Espero respuestas!!!

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