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  • Problema del día

Problema del día de OMA:
Determinar si existen enteros positivos $x$, $y$, $z$ tales que el producto $(x + y)(y + z)(z + x)$ sea igual a:
$a)$ $6767$
$b)$ $7676$
$c)$ $6776$
En cada caso, si la respuesta es afirmativa, hallar todas las ternas ordenadas $(x, y, z)$ que satisfacen la condición.
Link al tema.

Problema del día de Geometría:
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\widehat A=30^\circ$, $\widehat C=60^\circ$ y $AC=7$. Se traza por $B$ la perpendicular a $AC$, que corta a $AC$ en $D$. Sea $E$ en el lado $AC$ tal que $AE=BD$. Se traza por $E$ la perpendicular a $AC$ que corta a $AB$ en $F$. Calcular la medida del segmento $EF$.
Link al tema.

Problema del día de Ñandú:
En la figura, $ABDF$ es un cuadrado, $AE$ es paralelo a $BC$ y $FE=3ED$. Los puntos $F$, $E$, $D$ y $C$ están alineados.

El perímetro de $ABDF$ es $240\text{ cm}$ y el perímetro de $AEF$ es $180\text{ cm}$.

¿Cuál es el perímetro de $ABCE$?

Ñandú Zonal N2P4.png

Link al tema.


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Humpty & Dumpty points


Bueno, encontré un par de puntos notables con propiedades muy interesantes, voy a dejar todo lo que sé de ellos y mis demos de cada propiedad.
Sea $ABC$ un triángulo, de ortocentro $L$.
Se define al $A$-Humpty point, como el punto $H_A$ interior al $\triangle ABC$, tal que, $\angle H_ABC=\angle H_AAB$ y $\angle H_ACB=\angle H_AAC$.
Este punto notable tiene las siguientes propiedades:
a)$AH_A$ es una mediana del $\triangle ABC$.
b)$H_A, L, B$ y $C$ son concíclicos.
c)$LH_A \perp AH_A$
Demostración del apartado "a)":
Spoiler: mostrar
Sea $M$ la intersección de $AH_A$ y $ BC$.
Por la condición de $\angle H_ABC=\angle H_AAB$ y $\angle H_ACB=\angle H_AAC$, tenemos que $BC$ es tangente a $(AH_AB)$ y a $(AH_AC)$ en $B$ y $C$ respectivamente.
Luego por potencia de puntos tenemos, $MB^{2}=MH_A.MA=MC^{2}$ $\Rightarrow$ $MB=MC$, de donde $M$ es el punto medio de $BC$. $\blacksquare$
Demostración del apartado "b)":
Spoiler: mostrar
Supongamos que $AC≥AB$(es solo para que $L$ esté "más a la derecha" que $H_A$ cuando el vértice $A$ está "arriba", nada más porque así lo tengo yo en mi grafico).
Vamos a ver que $\angle H_ACL=\angle H_ABL$.
Tenemos, $\angle H_ACL=\angle H_ACB-\angle LCB=\angle H_AAC-\angle LAB$.
Por otro lado, $\angle H_ABL=\angle LBC-\angle H_ABC=\angle LAC-\angle H_AAB=(\angle H_AAC+\angle H_AAL)-(\angle H_AAL+\angle LAB)=\angle H_AAC-\angle LAB$.
$\Rightarrow$ $\angle H_ACL=\angle H_ABL$.
Por tanto, $H_ALBC$ es cíclico. $\blacksquare$
Demostración del apartado "c)":
Spoiler: mostrar
Sea $K$ la intersección de $BL$ y $AC$.
Se sigue $BK \perp AC$.
Como $H_ALBC$ es cíclico, tenemos $\angle KLH_A=\angle H_ACB=\angle H_AAC=\angle H_AAK$.
$\Rightarrow$ $KALH_A$ es cíclico, de donde $LH_A \perp AH_A$. $\blacksquare$
Este punto tambien está relacionado con la circunferencia de Apolonio del punto $A$ pero no sabría explicar esta propiedad porque no estudie dicho objeto nunca.

Pasemos con el $A$-Dumpty point(con la misma notación).
Sea $O$ el centro de $(ABC)$.
Se define al $A-$Dumpty point como el punto $D_A$ interior al $\triangle ABC$, tal que, $\angle D_ACA=\angle D_AAB$ y $\angle D_ABA=\angle D_AAC$.
Este punto notable tiene las siguientes propiedades:
w)La rotohomotecia centrada en $D_A$, de razón $r=\frac{AC}{AB}$ y ángulo $\angle CD_AA$ envía $\triangle CD_AA$ a $\triangle AD_AB$.
x)$AD_A$ es la $A$-simediana en $\triangle ABC$.
y)$O, D_A, B$ y $C$ son concíclicos.
z)$OD_A \perp AD_A$.
Demostración del apartado "w)":
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Bueno, por terceros angulos $\angle CD_AA=\angle AD_AB$ y $\triangle CD_AA$~$\triangle AD_AB$, por tanto son rotohomoteticos en $D_A$. $\blacksquare$
Demostración de los apartados "x)" y "z)":
Spoiler: mostrar
Sea $E$ la segunda intersección de $AD_A$ y $(ABC)$($E≠A$).
Tenemos, $\angle CAE=\angle CBE$, por tanto $BD_A$ y $BC$ son isogonales una respecto a la otra, analogamente $CD_A$ y $BC$ son isogonales.
Luego, $\angle ABC=\angle D_ABE$, además, $\angle BAC=\angle D_AAC+\angle D_AAB=\angle D_ABA+\angle D_AAB=\angle BD_AE$.
$\Rightarrow$ $\triangle ABC$~$\triangle D_ABE$. Analogamente, $\triangle ABC$~$\triangle D_AEC$.
Luego por Thales:
$\frac{BC}{AC}=\frac{BE}{D_AE} \Rightarrow BC.D_AE=BE.AC$ y $\frac{BC}{AB}=\frac{CE}{D_AE} \Rightarrow BC.D_AE=AB.CE$.
$\Rightarrow AB.CE=BE.AC \Rightarrow ABEC$ es armónico.
Si conocen un poco de cuadrilateros armónicos sabran que $AE$ es la $A$-simediana en $\triangle ABC$.
Eso por un lado demuestra el apartado "x)". Por otro lado, dicha propiedad también se cumple para la diagonal $BC$, en efecto, $BC$ es la $B$-simediana en $\triangle ABE$, luego $D_A$ es el punto medio de $AE$, y por tanto $OD_A \perp AD_A$. $\blacksquare$
Demostración del apartado "y)"
Spoiler: mostrar
Veamos que $\angle OCD_A=\angle D_ABO$.
Tenemos, $\angle OCD_A=\angle D_ACA-\angle OCA=\angle D_AAB-\angle OAC=\angle D_AAB-(\angle D_AAC-\angle D_AAO)=
(\angle D_AAB+\angle D_AAO)-\angle D_ABA=\angle OAB-\angle D_ABA=\angle OBA-\angle D_ABA=\angle D_ABO$.
$\Rightarrow$ $OD_ABC$ es cíclico. $\blacksquare$
Y eso es todo lo que sé hasta ahora.

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Archivo de enunciados pretorneo de las ciudades (en pdf para imprimir)


Buenas a todos!

Se avecina el pretorneo de las ciudades así que les comparto este archivo de enunciados en pdf que prepare para que puedan imprimirlo. Lamentablemente solamente es nivel mayor ya que no me pagan lo suficiente para hacer nivel juvenil (joda ni siquiera me pagan), eventualmente algún día cuando tenga tiempo lo suba.

Mención especial a @BR1 que subió $\frac{1}{3}$ de los problemas al foro durante este ultimo tiempo.

Acá el archivo:
Pretorneo de las Ciudades (nivel mayor).pdf
De paso les dejo este link donde estan los otros archivos que prepare:
viewtopic.php?t=9005

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Hecho interesante


Sea $ABCD$ un cuadrilatero convexo, tal que, existe un punto $T$ en $DC$ que cumple: $AD=AT$ y $BT=BC$.
Si $P$ y $Q$ son los puntos medios de $BD$ y $AC$, respectivamente. Se cumple que, $PQ=\frac{AB}{2}$.
Demostración:
Spoiler: mostrar
Sean $R$ y $S$ los puntos medios de $DT$ y $CT$, respetivamente.
Por Thales tenemos:
$PR=\frac{BT}{2}=\frac{BC}{2}$ y $TQ=\frac{AT}{2}=\frac{AD}{2}$.
Además, $DC=TC+DT=2TS+2RT=2(TS+RT)=2RS$.
Por otro lado, $\angle PRT=\angle BTC=\angle BCT$ y $\angle QST=\angle ATD=\angle ADT$.
$\Rightarrow$ $\triangle PRS$~$\triangle BCD$ y $\triangle QSR$~$\triangle ADS$.
Y ambas semejanzas estan en razón "$2$ a $1$"(Hacer todo esto no es necesario, solo voy a usar una de las semejanzas, pero es para dejar toda la configuración analizada).
Entonces, $\frac{PR}{RQ}=\frac{BC/2}{AC/2}=\frac{BC}{AC}$.
Como el $\triangle ADT$ es isosceles, entonces $AR$ es perpendicular a $DC$(es analogo con $BS$).
Luego, $AQ=QC=RQ$ $\Rightarrow$ $\angle QCR=\angle QRC$ $\Rightarrow$ $\angle QRP=\angle BCA$(por $\angle BCR=\angle PRC$).
Luego, $\triangle PRQ$~$\triangle BCA$ por el recícproco de Thales, y estos estan en razon de $2$ a $1$(análogamente, $\triangle QSP$~$\triangle ADB$).
Por tanto $\frac{AB}{2}=PQ$, pues son homologos.
De ahi sacamos que $ABCD$~$QPRS$.
Creo que lo último es el hecho interesante y no $\frac{AB}{2}=PQ$ pero bueno.

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Segundo pretorneo 1996 NJ P1


Se da un triángulo acutángulo en el que los tres ángulos miden un número entero de grados y el ángulo mayor es cinco veces el ángulo menor. Hallar los ángulos.



($3$ PUNTOS)

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Interescolar 2024 N1 P3


En el estante de las frutas, hay banana, durazno, frutilla y manzana; en el estante de las verduras, hay cebolla, lechuga, papa y tomate.

Cami quiere elegir $3$ frutas distintas y $2$ verduras distintas.

¿De cuántas maneras puede hacerlo?

Explica cómo las contaste.

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