OMA Foros

Mati está jugando con unas cajas y una máquina mágicas. Cada caja tiene un valor interior. Al abrir una caja Mati ve su valor, suma a su puntaje el valor de la caja y ésta se destruye (si el puntaje de la caja es negativo, Mati pierde puntos). Al colocar una caja mágica con valor $X$ en la máquina, esta caja se destruye y obtenemos dos cajas mágicas de valores $X+1$ y $X-1$ (no se sabe cuál es cada una, pero sí cuáles son las cajas nuevas). Al comenzar el juego Mati tiene $0$ puntos y una caja mágica cuyo valor sabe que es $0$.

Demostrar que Mati puede asegurarse llegar a $1000$ puntos o más.
¿Puede Mati asegurarse llegar a $1000000$ puntos o más, sin tener menos de $-42$ puntos en ningún momento?

Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tales que$$f(x+f(y+1))+f(xy)=f(x+1)(f(y)+1)$$para cualesquiera $x,y$ enteros.

Decimos que un entero positivo $N$ es rioplatense si cumple las siguientes dos condiciones:

Es posible encontrar $34$ enteros consecutivos tales que su producto sea divisible por $N$ pero ninguno de ellos sea divisible por $N$.
Es imposible encontrar $30$ enteros consecutivos tales que su producto sea divisible por $N$ pero ninguno de ellos sea divisible por $N$.

Determinar todos los enteros rioplatenses.

Un conjunto de puntos es antiparalelográmico si cualesquiera cuatro de sus puntos no son vértices de un paralelogramo. Dado un conjunto de $2023$ puntos en el plano, sin tres de ellos colineales, demostrar que contiene un conjunto antiparalelográmico de $17$ puntos.

Un grupo de $4046$ amigos va a jugar un torneo de videojuegos. Para esto, $2023$ de los amigos van a una sala dona hay $2023$ computadoras etiquetadas como $a_1,\ldots ,a_{2023}$ y los otros $2023$ amigos van a otra sala donde hay $2023$ computadoras etiquetadas como $b_1,\ldots ,b_{2023}$. Siempre el jugador de la computadora $a_i$ se enfrentará a los jugadores que se sienten en las computadoras $b_i$, $b_{i+2}$, $b_{i+3}$ y $b_{i+4}$ (notar que no se enfrenta al jugador de la computadora $b_{i+1}$). Luego de jugar la primera ronda, dentro de cada sala les piden que vuelvan a elegir computadora. Después de reordenarse, todos los jugadores notan que les toca enfrentarse a las mismas personas que en la primera ronda. Demostrar que si algún jugador volvió a elegir la misma computadora que en la primera ronda, entonces todos lo hicieron.

Aclaración. Los índices se toman módulo $2023$, es decir: consideramos $b_{2024}=b_1$, $b_{2025}=b_2$, etcétera.

OMA Foros

Rioplatense 2023 N3 P4

Rioplatense 2023 N2 P6

Rioplatense 2023 N2 P5

Rioplatense 2023 N2 P4

Rioplatense 2023 N1 P6