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Un círculo $D$ se ha dividido en $2n$ sectores iguales; $n$ de ellos se colorean de rojo y los restantes de azul. Comenzando por un sector rojo elegido en forma arbitraria, contamos los sectores rojos de $1$ a $n$, en el sentido de las agujas del reloj. Procedemos del mismo con los sectores azules, pero en sentido contrario al de las agujas del reloj. Demostrar que existe un semicírculo de $D$ que contiene todos los números del $1$ al $n$.

Sean $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro, y supongamos que su incrírculo $\gamma$ es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. Sean $X,Y,Z$ puntos interiores de los inradios $ID,IE,IF$ respectivamente. Las perpendiculares desde $B$ y $C$ a $XZ$ y $XY$, respectivamente, se cortan en el punto $P$, interior a $\gamma$. Los segmentos $PA,PB,PC$ cortan a $\gamma$ en $A_0,B_0,C_0$ respectivamente. Sean $S_A,S_B,S_C$ los centros de las circunferencias $PEF,PFD,PDE$ respectivamente, y sean $T_A,T_B,T_C$ los centros de las circunferencias $PB_0C_0,PC_0A_0,PA_0B_0$ respectivamente. Demostrar que las rectas $S_AT_A,S_BT_B,S_CT_C$ son concurrentes.

Sea $R_i$, $i=1,2,\ldots ,n$ una familia infinita de regiones rectangulares cerradas disjuntas dos a dos, con lados paralelos a los ejes coordenados. Se sabe que el área de $R=\bigcup \limits _{i=1}^nR_i$ es por lo menos $4$, y las proyecciones sobre $Ox$ de su unión es un intervalo.

Probar que $R$ contiene tres puntos que son vértices de un triángulo de área $1$.

Sean $a_1,a_2,a_3,a_4$ las longitudes de los lados de un cuadrilátero y $s$ su semiperímetro. Demostrar que$$\sum _{i=1}^4\frac{1}{s+a_i}\leq \frac{2}{9}\sum_{1\leq i<j\leq 4}\frac{1}{\sqrt{(s-a_i)(s-a_j)}}.$$¿Cuándo vale la igualdad?

Hallar los número reales $x$, $x>1$, tales que $\sqrt[n]{\left \lfloor x^n\right \rfloor}$ es entero para todos los enteros positivos $n$, $n\geq 2$.

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