OMA Foros

Problema del día de OMA:
Cintia tiene una larga tira de papel donde están escritos todos los números naturales de $20$ dígitos, ordenados de menor a mayor (desde $100\ldots 00$ hasta $999\ldots 99$) sin espacios entre números consecutivos. Cintia elige un número entero positivo $k$ y se lo dice a Elicita. A continuación Elicita elige $k$ dígitos consecutivos de la tira de papel, hace una fotocopia del segmento de papel que contiene esos $k$ dígitos y se lo entrega a Cintia. Con esta tira de $k$ dígitos a la vista, Cintia debe determinar el lugar exacto de la tira larga de papel donde se encuentra el segmento fotocopiado. Halla el menor valor de $k$ que le permite a Cintia cumplir el objetivo, no importa cuáles sean los k dígitos consecutivos que decida fotocopiar Elicita.
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Problema del día de Geometría:
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sean $B'$ y $C'$ los pies de sus alturas desde $B$ y $C$ respectivamente. Los simétricos de $B'$ con respecto a las rectas $BC$ y $AB$ son $B'_A$ y $B'_C$ respectivamente. La circunferencia $BB'_AB'_C$, con centro $O_B$, corta nuevamente a la recta $AB$ en $X_B$. De modo similar se definen $C'_A$, $C'_B$, $O_C$ y $X_C$, intercambiando los pares $(B,B')$ y $(C,C')$. Probar que $O_BX_B$ y $O_CX_C$ son paralelas.
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Problema del día de Ñandú:
Hay $5$ lámparas en línea, controladas por $5$ teclas ($A$; $B$; $C$; $D$ y $E$).$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\Theta & \Theta & \Theta & \Theta & \Theta \\
\hline
A & B & C & D & E \\
\hline
\end{array}$$Cada lámpara puede estar: apagada, con luz suave o con luz fuerte.
Cada tecla cambia de estado la lámpara que está arriba suyo, la de la izquierda y la de la derecha.
Al accionar la tecla, cada una de las lámparas afectadas cambia: de apagada a luz suave, de luz suave
a luz fuerte o de luz fuerte a apagada.
Al principio las $5$ lámparas están apagadas. Accionando la menor cantidad de teclas se quiere llegar
a este orden: luz fuerte; luz suave; luz fuerte; luz suave; luz fuerte.
¿Qué teclas se pueden accionar? Da todas las posibilidades.
En cada caso muestra, paso a paso, los cambios de estado.
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