OMA Foros

Hola a todos!

Este post está destinado a exolímpicos y docentes que estén interesados en entrenar a participantes de olimpíadas. Con un grupo de exolímpicos notamos la necesidad de tener su contacto, para poder hacer de nexo entre entrenadores y participantes/colegios que estén buscándolos.

Los invito a llenar el siguiente formulario: https://forms.gle/2cuaPJmrnRdAqCeR9

Toda la información que les pedimos tiene como único fin el mencionado y sólo se compartirá entre la comunidad olímpica.

Les pedimos que compartan el formulario con sus conocidos para lograr tener el contacto de la mayor cantidad de gente posible.

O Teorema de Thales é um resultado muito útil. Ele nos permite descobrir quando duas retas são paralelas (com a proporção de alguns segmentos) e também, se já sabermos a existência do paralelismo, descobrir a razão de dois segmentos.

($ \Rightarrow $) Sejam $r,s$ e $t$ três retas paralelas e sejam $u$ e $v$ duas transversais que determinam sobre as retas $r,s$ e $t$ os pontos $A,B,C$ e $D,E,F$, respectivamente (Figura). Então, pelo Teorema de Thales, vale que $$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}.$$

Além disso, também vale a sua Recíproca:

($ \Leftarrow $) Sejam dados, no plano, retas $r$ e $s$ e pontos $A,A'\in r$ e $B,B'\in s$, com $AB\cap A'B'=\{C\}$. Caso $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$, então vale que $r\parallel s$.

Demonstrações:

Spoiler: mostrar: Suponha que $B\in AC$ na seguinte figura. Trace, por $B$, a reta $s'\parallel r$ e marque $\{B''\}=s'\cap A'C$. Por Teorema de Thales, temos $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B''}{B''C}$. Porém anteriormente afirmamos que $\frac{A'B'}{B'C}=\frac{A'B''}{B''C}$. Segue que, por Tramposética, $B'=B''$, ou seja, são o mesmo ponto. De modo similar, $s'=s$, e são a mesma reta. Portanto $s\parallel r$. $\blacksquare$

Espero ter ajudado!

Alguns problemas que se resolvem com isso:

Spoiler: mostrar: viewtopic.php?f=17&t=9843

viewtopic.php?t=4550

viewtopic.php?t=7795

Bom dia!

Proposição. Em uma equação $$a_1+a_2+\cdots+a_n=k,$$existem $$\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}$$soluções inteiras não negativas para $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$, e $k$.

Prova.

Spoiler: mostrar: Representando o número $k$ em $k$ barras e colocando os $n-1$ sinais de $+$ do lado, da forma /////...$+++++$, veremos que, por exemplo se $a_1+a_2+a_3+a_4=5$, então uma possível solução em inteiros não negativos é $a_1=a_2=a_3=1$ e $a_4=2$. Isso será representado por essa $ \Rightarrow $ /$+$/$+$/$+$// permutação. Vemos que existem $(n+k-1)!$ formas de permutar todas as barras e os sinais (pelos Números Combinatórios). Porém a ordem das barras e dos sinais importa, pois, por exemplo, dois sinais juntos não serão uma combinação. Daí, dividimos pelas combinações repetidas. Novamente por combinação, isso pode ser feito de $(n-1)!k!$ formas. Portanto o total é $\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}$. $\blacksquare$

Exemplo: "Encontre a quantidade de quádruplas $(a,b,c,d)$, com $a,b,c,d$ sendo inteiros não negativos, que satisfazem $a+b+c+d=17$."

Pela nossa Proposição, existem exatamente $$\frac{(4+17-1)!}{(4-1)!17!}=\frac{20!}{3!17!}=\frac{1}{6}\times(20!17!)=\frac{1}{6}\times(20\times19\times18)=20\times19\times3=\boxed{1140.}\space\blacksquare$$

(vale lembrar que estamos trabalhando com inteiros não negativos, então soluções em que ao menos um número é igual a zero também são contadas.)

Corrigir se há algum erro.

Espero ter ajudado!

Formula:

Dado un árbol genealógico donde cada pareja tiene $h$ hijos, de los cuales $c$ se casan formando nuevas parejas,

y con un numero inicial de parejas $P_1$, el total de personas hasta la generación $G$ viene dada por:

Spoiler: mostrar: $T(G) = 2 P_1 + P_1 (h + c) + P_1 (h + c) \frac{c^G - c}{c - 1}$

Espero que les sirva mi formula

.

¡Hola a todos!

Quería contarles que estamos armando desde Argentina una página para recopilar información sobre Olimpiadas Iberoamericanas de Matemáticas anteriores.

Link: https://iberoofficial.vercel.app

Si quieren contribuir a la recolección de información, pueden mandarnos con "resultados" (puntajes por problema de todos los participantes que tengan), o enunciados (pruebas de ambos días en cada idioma) o incluso fotos de todos los participantes de algún año que crean que está buena para compartir. Todo pueden mandarlo a [email protected].

¡Saludos!

Cuando alguien entra a la biblioteca, escribe en un pizarrón negro el número de personas que están en la biblioteca en ese momento (sin contarse a sí mismo). Cuando una persona sale de la biblioteca, escribe en un pizarrón blanco el número de personas que se quedan en la biblioteca. Muestren que al final del día, los números del pizarrón negro son los mismos que los del pizarrón blanco, contando las repeticiones de números pero no el orden.

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