OMA Foros

Problema del día de OMA:
Hay $100$ puertas, cada una con su propia llave (que solo abre esta puerta). Las puertas están numeradas del $1$ al $100$, y también lo están las llaves. Se sabe que el número de cada llave es o bien igual al número de la puerta que abre, o difiere en $1$. En un intento puedes seleccionar cualquier puerta y cualquier llave y comprobar si una llave elegida abre una puerta elegida. ¿Es siempre posible averiguar qué llave abre qué puerta:

1. en $99$ intentos;
2. en $75$ intentos;
3. en $74$ intentos?

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Problema del día de Geometría:
Sea $ABC$ un triángulo con bisectrices de longitud $l_a,l_b,l_c$ correspondientes a los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente. Sea $A'$ el punto de tangencia del lado $BC$ con su respectivo excírculo; $B'$ y $C'$ se definen de forma análoga. Hallar el mayor número $r$ tal que la desigualdad $$\dfrac{l_a}{AA'}+\dfrac{l_b}{BB'}+\dfrac{l_c}{CC'}>r$$ se satisface para todo triángulo $ABC$.
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Problema del día de Ñandú:
Hay $2010$ bolitas para guardar en $30$ cajas.
Se quiere que cada caja tenga más de $50$ bolitas y que en cada caja haya un número distinto de bolitas.
¿Cuál es el mayor número de bolitas que se pueden poner en una caja?
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