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Sean $(P_n)_{n\geq 1}$ una familia infinita de planos y $(X_n)_{n\geq 1}$ una familia de conjuntos finitos y no vacíos de puntos tales que $X_n\subset P_n$ y la proyección ortogonal de $X_{n+1}$ sobre el plano $P_n$ está contenida en $X_n$, para todo $n$.

Probar que hay una sucesión de puntos $(p_n)_{n\geq 1}$ tal que $p_n\in P_n$ y $p_n$ es la proyección ortogonal de $p_{n+1}$ sobre el plano $P_n$ para todo $n$.

¿Es cierto el resultado si los conjuntos $X_n$ son infinitos?

Sean $ABCD$ un cuadrilátero convexo y $M,N,P,Q$ los puntos medios de los lados $AB,BC,CD,DA$, respectivamente. Demostrar que si $ANQ$ y $CMQ$ son triángulos equiláteros, entonces $ABCD$ es un rombo. Hallar los ángulos de $ABCD$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$, y sea $\Gamma$ su circuncírculo. La tangente a $\Gamma$ por $A$ corta nuevamente a la recta $BC$ en $K$. La circunferencia $\Omega$ de radio $KA$ con centro en $K$ corta nuevamente a $\Gamma$ en $L$. La recta $BL$ corta nuevamente a $\Omega$ en $M$, y la recta $CM$ corta nuevamente a $\Omega$ en $N$. Demostrar que la recta $AN$ pasa por el punto medio del segmento $BC$.

El archipiélago Imomi consiste de $n\geq 2$ islas. Entre cada par de islas hay una única línea de ferry que viaja en ambas direcciones, y cada línea de ferry está operada por una de $k$ compañías. Se sabe que si cualquiera de las $k$ compañías cierra todas sus líneas de ferry, entonces se torna imposible para un viajero, no importa donde inicie su viaje, visitar todas las islas exactamente una vez (en particular, no puede regresar a la isla de la que partió).

Determinar el máximo valo posible de $k$ en términos de $n$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo tal que $\angle A=90^\circ ,\angle B>\angle C$, y sea $D$ un punto arbitrario del segmento $BC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle ADB$ y $\angle ADC$ intersecan a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente. Demostrar que el ángulo entre las rectas $BC$ y $MN$ es $\frac{1}{2}(\angle B-\angle C)$ si y sólo si $D$ es el pie de la altura desde $A$.

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Entramiento IMO - Problema 50

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