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Fijamos un entero $n\geq 2$ y consideramos $n^2$ números reales positivos, $a_{ij}$, $i,j=1,\ldots ,n$, que satisfacen simultáneamente las siguientes dos condiciones:

$a_{ii}=1$, $i=1,\ldots ,n$; y
para cada $j=2,\ldots ,n$, los $a_{ij}$, $i=1,\ldots ,j-1$ son una permutación de los $\frac{1}{a_{ji}}$, $i=1,\ldots ,j-1$.

Si $s_i=\sum \limits _{j=1}^na_{ij}$, $i=1,\ldots ,n$, determinar el mayor valor que puede alcanzar $\sum \limits _{i=1}^n\frac{1}{s_i}$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sean $B'$ y $C'$ los pies de sus alturas desde $B$ y $C$ respectivamente. Los simétricos de $B'$ con respecto a las rectas $BC$ y $AB$ son $B'_A$ y $B'_C$ respectivamente. La circunferencia $BB'_AB'_C$, con centro $O_B$, corta nuevamente a la recta $AB$ en $X_B$. De modo similar se definen $C'_A$, $C'_B$, $O_C$ y $X_C$, intercambiando los pares $(B,B')$ y $(C,C')$. Probar que $O_BX_B$ y $O_CX_C$ son paralelas.

Dado un entero $n\geq 1$, consideramos $n$ vectores unitarios distintos del plano, con origen común $O$. Supongamos además que para un entero no negativo $m<\frac{n}{2}$, en cada semiplano determinado por cualquier recta que pasa por $O$ hay al menos $m$ de esos vectores. Demostrar que la longitud de la suma de los $n$ vectores es menor o igual que $n-2m$.

Sea $N$ un entero positivo. Demostrar que existen tres permutaciones $a_1,a_2,\ldots ,a_N$; $b_1,b_2,\ldots ,b_N$ y $c_1,c_2,\ldots ,c_N$ de $1,2,\ldots ,N$ tales que$$\left |\sqrt{a_k}+\sqrt{b_k}+\sqrt{c_k}-2\sqrt{N}\right |<2023$$para todo $k=1,2,\ldots ,N$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y sea $\omega$ su circunferencia de los $9$ puntos. La recta tangente $t_A$ a $\omega$ trazada por el pie de la altura del $ABC$ correspondiente al vértice $A$ corta a la circunferencia de diámetro $AB$ nuevamente en $K_A$. La recta que pasa por los pies de las alturas del triángulo $ABC$ desde $A$ y desde $C$ cortan a las rectas $AK_A$ y $BK_A$ en $L_A$ y $M_A$ respectivamente, y las rectas $t_A$ y $CM_A$ se cortan en $N_A$. De modo similar se definen los puntos $K_B,L_B,M_B,N_B$ y $K_C,L_C,M_C,N_C$ para las ternas $(B,C,A)$ y $(C,A,B)$ respectivamente. Demostrar que las rectas $L_AN_A, L_BN_B$ y $L_CN_C$ son concurrentes.

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