Problema 1
Decimos que un entero positivo $n$ es
espacial si cumple que todos los números formados por dos dígitos consecutivos de $n$ son cuadrados perfectos. Por ejemplo, $3649$ es espacial porque $36$, $64$ y $49$ son todos cuadrados perfectos; pero $2516$ no lo es pues $51$ no es un cuadrado perfecto.
a) ¿Existe un número espacial de $5$ dígitos?
b) ¿Existe un número espacial de $6$ dígitos?
En cada caso, si la respuesta es sí, dar un ejemplo, y si la respuesta es no, explicar por qué.
Problema 2
Flora escribe cuatro números distintos $a$, $b$, $c$ y $d$ en el pizarrón, con $a<b<c<d$. Luego, Patricia calcula las diez sumas\begin{align*}a+a\qquad b+b\qquad c+c\qquad d+d\qquad a+b \\ \\ a+c\qquad a+d\qquad b+c\qquad b+d\qquad c+d\end{align*}y escribe en el pizarrón todos los resultados que obtiene. ¿Cuál es la menor cantidad posible de números distintos que puede escribir Patricia? Dar un ejemplo con esa cantidad y explicar por qué no puede escribir menos.
Problema 3
Sea $ABCDE$ un pentágono regular (de lados $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ y $EA$). Las diagonales $CE$ y $AD$ se cortan en el punto $P$. Se marca el punto $X$ en el interior del pentágono de modo que $PX=PD$ y $CX=CD$. Se marca el punto $Y$ en el lado $AE$ de modo que $PY=PD$. Demostrar que $AX=AY$.
Problema 4
Mati quiere colocar fichas como las de la figura en un tablero de $5\times 5$ de modo que las fichas no se superpongan, cada ficha cubra exactamente $3$ casillas del tablero y quede exactamente una casilla sin cubrir.
¿Cuántas fichas horizontales puede usar Mati? Dar todas las posibilidades. ¿Y si el tablero es de $100\times 100$?
Problema 5
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y sea $O$ su circuncentro. La recta perpendicular a $BC$ por $A$ corta a $BC$ en el punto $D$, la recta $AO$ corta a la recta $BC$ en el punto $E$, y la recta perpendicular a $AO$ que pasa por $E$ corta a las rectas $CA$ y $AB$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. La recta $AD$ interseca nuevamente al circuncírculo de $AKL$ en el punto $X$. Demostrar que los circuncírculos de $ABC$, $AKL$ y $DEX$ pasan todos por un mismo punto.
Aclaración: El circuncírculo de un triángulo es la circunferencia que pasa por sus tres vértices, su centro es el circuncentro del triángulo.
Problema 6
Turbo el caracol espacial tiene un tablero infinito $T$, y dice que un entero positivo $n$ es
cósmico si existe un conjunto finito de casillas de $T$ que puede cubrirse con fichas de dominó indistinguibles, sin salirse del conjunto y sin superponerse, de exactamente $n$ maneras distintas. Demostrar que todos los enteros positivos son cósmicos.
Aclaración: Dos cubrimientos se consideran iguales si y sólo si tienen los mismos dominós en las mismas posiciones.
Problema 7
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$(x-y)(f(x)+f(y))\leq f\left (x^2-y^2\right )$$para todos $x,y\in \mathbb{R}$.
Problema 8
Decimos que una sucesión infinita de números enteros positivos $a_1,a_2,\ldots ,a_n,\ldots$ es
universal si existe una sucesión infinita de números enteros positivos $b_1,b_2,\ldots ,b_n,\ldots$ tal que para todo entero positivo $n$ vale que$$a_n=\prod \limits _{d\mid n}b_d.$$Demostrar que la sucesión de Fibonacci, definida como $F_1=F_2=1$ y $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ para todo entero positivo $n$, es universal.
Aclaración: El producto se efectúa sobre todos los divisores positivos de $n$. Por ejemplo,$$\prod \limits _{d\mid 6}b_d=b_1\cdot b_2\cdot b_3\cdot b_6.$$