Problema 1
José Carlos juega con un bolillero que contiene $n$ bolillas numeradas del $1$ al $n$. Al iniciar el juego José Carlos tiene un puntaje igual a $0$. Cada turno consiste en sacar una bolilla al azar y tomar una decisión. Si la bolilla que saca tiene el numero $k$, las decisiones posibles son:
(a) sumarle $k$ a su puntaje; (b) sumarle $2k$ a su puntaje; (c) sumarle $2k+1$ a su puntaje.
El juego termina cuando se hayan sacado las $n$ bolillas.
Un numero $n$ se dice guanaco si, jugando con $n$ bolillas y tomando las decisiones correctas, hay al menos dos números cuadrados consecutivos que pueden ser el puntaje final de José Carlos. Determinar todos los números guanacos.
Problema 2
Diremos que dos triángulos pertenecen a la misma clase si y sólo si son congruentes. Sea $n$ un entero positivo. Danielle elige $n+1$ puntos distintos $P_0, P_1, P_2, \dots , P_n$ ubicados en ese orden sobre una recta $r$ y elige un punto $O$ que no esta sobre $r$. Luego, ella dibuja los $n$ triángulos $OP_0P_1, OP_1P_2, \dots , OP_{n-2}P_{n-1} ,OP_{n-1}P_n$. Danielle cuenta cuántas clases de triángulos existen entre los $n$ triángulos anteriores y obtiene como respuesta $k$. Determinar todos los posibles valores de $k$.
Problema 3
Un conjunto de dígitos es bueno si es imposible formar un número primo usando dos o más de ellos (está permitido repetir dígitos). Por ejemplo, con el conjunto $\{1, 2, 3\}$ se pueden formar los números $31, 22, 1231$, etcétera. Determinar la máxima cantidad de dígitos que puede tener un conjunto bueno.
Problema 4
$A$ escribe todos los números enteros desde $1$ hasta $100$ en tarjetas y le da algunas tarjetas a $B$. Se sabe que cualesquiera dos tarjetas, una de $A$ y una de $B$, la tarjeta con la suma de los dos números no está entre las de $A$ y la tarjeta con el producto no está entre las de $B$. Determinar el número de tarjetas de $B$ si la tarjeta con el $13$ es de $A$.
Problema 5
Encuentre el mayor valor posible de $k$ tal que para todo polinomio de grado $n>1$ cuyas raíces son todas reales positivas $p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots +a_1x+a_0$ se cumple que$$\left (\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^ia_{n-i}\right )^2\geq k|a_0|$$y determine en qué casos se da la igualdad.
Problema 6
Demuestre que la ecuación $a^4+b^4+c^4 =a^2bc+ab^2c+abc^2+2005$ tiene una cantidad finita de soluciones enteras.
Problema 7
Sean $k, n$ enteros positivos y $x_1, \dots, x_n$ números no negativos tales que $x_1+\dots+x_n=1$. Determine los valores máximo y mínimo de$$S=\frac{x_1}{x_1^k+1}+\dots+\frac{x_n}{x_n^k+1}$$y diga en qué casos se alcanzan dichos valores.
Problema 8
Sean $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $O$ su circuncentro. Sea $D$ el punto diametralmente opuesto a $C$ en $\Gamma$. Sea $X$ un punto sobre $\Gamma$ tal que $AX\parallel CD$. Sea $Y$ un punto sobre la recta $BC$ tal que $\angle CDY=90^\circ$. Si los puntos $X,O,Y$ son colineales, demostrar que las rectas $YD,AB,CX$ concurren.
Problema 9
Determinar el valor mínimo que puede tomar la expresión$$\frac{x}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z}{x^2}$$donde $x,y,z$ son números reales positivos.
Problema 10
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo en el que $AD\parallel BC$ y los ángulos $\hat{A}$ y $\hat{D}$ son agudos. La paralela a $AB$ por $D$ y la paralela a $CD$ por $B$ se cortan en $E$. La paralela a $AB$ por $C$ y la paralela a $CD$ por $A$ se cortan en $F$. Sean $P, Q, R, S, T, U$ los puntos medios de $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ respectivamente. Demostrar que $PS, QT$ y $RU$ pasan por un mismo punto.
Problema 11
Sean $n$ y $m$ enteros positivos tales que $n$ es par, $m$ es impar y $3\leq m<\frac{n}{2}$. Dos números son
amigos si su suma es $n$, $m$ o $n+m$. Demostrar que los números del $1$ al $n$ se pueden poner en una lista de modo que cualesquiera dos consecutivos son amigos si y sólo si $n$ y $m$ son primos relativos.
Problema 12
Sea $C_n$ el conjunto $\{1,2,3,\dots,n\}$. Dado un subconjunto $S$ del conjunto $C_n$, cada uno de los $2^n$ posibles subconjuntos de $C_n$ se colorea de azul o rojo según el número de elementos en su intersección con $S$ sea par o impar, respectivamente, proceso que se denomina una "
S-coloración". Sean $A$ y $B$ dos subconjuntos de $C_n$ diferentes entre sí. Encuentre el número de subconjuntos de $C_n$ que reciben en la
B-coloración el mismo color que en la
A-coloración.
Problema 13
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Una circunferencia $k$ que pasa por $A$ y $B$ corta a los lados $AC$ y $BC$ respectivamente en puntos interiores $M$ y $N$. Las tangentes a $k$ por $M$ y $N$ se cortan en $O$. Demostrar que $O$ es el circuncentro del triángulo $CMN$ si y sólo si $AB$ es diámetro de $k$.
Problema 14
Encuentre todos los polinomios con raíces reales$$P(x)=a_{2023}x^{2023}+a_{2022}x^{2022}+\dots +a_0$$tales que $a_{2023}=1$, $a_{2022}=2023$ y $a_{2021}=\frac{2022\cdot 2023}{2}$.
Problema 15
Hay una circunferencia con $2023$ bombillas, inicialmente apagadas. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan un juego alternadamente, donde $A$ comienza. En cada turno, un jugador escoge una bombilla que no ha sido encendida nunca antes, la enciende y apaga sus dos vecinas. El juego termina cuando ya todas las bombillas hayan sido encendidas en algún momento. ¿Cuál es la mayor cantidad de bombillas encendidas que puede garantizar $A$ en la configuración final, sin importar cómo juegue $B$?
Problema 16
Denotemos por $s(k)$ a la suma de todos los divisores positivos de $k$. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $s(1)+s(2)+\dots+s(n)=n(n-1)$.
Problema 17
Sea $(a_1,a_2,\dots,a_{2023})$ una permutación de los números $1, 2, \dots, 2023$. Entre los números $a_1+a_2,a_2+a_3,a_3+a_4,\dots,a_{2022}+a_{2023}$ hay exactamente $n$ que son múltiplos de $17$. Determinar el mínimo y el máximo valor posible de $n$.
Problema 18
Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y sea $\omega$ su circunferencia circunscrita. Denotamos $M$ al punto medio del lado $BC$ y $N$ al punto medio del arco $BC$ de $\omega$ que contiene a $A$. La circunferencia circunscrita del triángulo $AMN$ interseca a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demostrar que $BP = CQ$.
Problema 19
Marisa hace una lista de números. Comienza con un número primo. Luego continúa con $n^2+6$ donde $n$ es el numero anterior. Continúa de este modo hasta anotar por primera vez un número que no es primo. Determinar la máxima longitud posible de la lista de Marisa.
Problema 20
Hallar el menor entero positivo $n$ para el cual existen tres enteros positivos distintos dos a dos $a, b, c$ tales que $n = a+b+c$ y $(a+b)(b+c)(c+a)$ es un cubo perfecto.
Problema 21
Se colocan algunas fichas en un tablero rectangular de tamaño $m\times n$ que está dividido en casillas de tamaño $1\times 1$ (máximo una ficha por casilla). Se define el valor de una fila (o de una columna) como el número de fichas en esa fila (o columna). Carlos no puede ver el tablero, pero quiere determinar cuáles casillas están ocupadas y cuáles no, partiendo de la información que le da Eliana, que sí puede ver el tablero. Para cada fila y columna del tablero, Eliana le dice a Carlos su valor.
a) Demuestre que si todos los valores de las columnas son distintos entre sí, y todos los valores de las filas son distintos entre sí, entonces Carlos puede adivinar la configuración del tablero.
b) Dadas dos filas y dos columnas, sus cuatro casillas de intersección son los vértices de un rectángulo. Dicho rectángulo es "malo" si dos de sus vértices opuestos están ocupados, mientras que los otros dos están desocupados. Esta vez, además de tener la información de los valores de cada fila y cada columna (que no necesariamente son diferentes), Carlos le pregunta a Eliana si hay algún rectángulo malo. Demuestre que Carlos puede adivinar la configuración del tablero si y sólo si la respuesta de Eliana es "no".
Problema 22
Denotamos $I$ al incentro del triángulo $ABC$, $AC \neq BC$, y $D, E, F$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita $k$ con $AB, BC, AC,$ respectivamente.
(a) Si $S$ es el punto de intersección de $CI$ y $EF$, demostrar que los triángulos $CDI$ y $DSI$ son semejantes.
(b) Sea $M$ el segundo punto de intersección de $k$ y $CD$. La tangente a $k$ por $M$ corta a la recta $AB$ en $G$. Demostrar que $GS \perp CI$.
Problema 23
Resolver la ecuación $z^2+1 = xy(xy+2y-2x-4)$ en los números enteros.
Problema 24
Sea $p(1) = 1$ y $p(n+1) = p(n)$ si $n+1$ no es una potencia perfecta y $p(n+1)=(n+1)p(n)$ en caso contrario.
¿Existe $N$ entero positivo tal que para todo $n> N, p(n)>2^n?$
Problema 25
En el pizarrón está escrito el número $N$ de $400$ dígitos formado por $100$ copias del número $2023$, es decir $N = 202320232023 \dots 2023$.
Lionel debe borrar algunos dígitos de $N$ de manera que el número que se obtenga sea un múltiplo de $84$ lo más grande posible. Determinar qué dígitos debe borrar Lionel y cuál es el número que se obtiene.
Problema 26
Sea $ABC$ un triángulo y sean $P$ y $Q$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $AP = AQ$ y la recta $PQ$ pasa por el incentro $I$ del triángulo $ABC$. Sea $M$ el segundo punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $BPI$ y $CQI$. Las rectas $PM$ y $BI$ se cortan en $D$ y las rectas $QM$ y $CI$ se cortan en $E$. Probar que la recta $MI$ pasa por el punto medio del segmento $DE$.
Problema 27
Hallar todos los números naturales de cuatro dígitos $m$, menores que $2005$, para los que existe un natural $n< m$ tal que $m-n$ tiene a lo sumo $3$ divisores naturales y $mn$ es un cuadrado perfecto.
Problema 28
Sea $n$ un entero positivo dado mayor o igual que $2$. Demuestre que existe un conjunto $A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ de enteros positivos tal que cada uno de los $a_i$ no divide a la suma de los elementos de cualquier subconjunto no vacío de $\{a_1, a_2, \dots, a_{i-1}, a_{i+1}, \dots,a_n\}$.
Problema 29
Se considera un triángulo $ABC$ y un punto $P$ en su interior. Sean $D, E, F$ las reflexiones de $P$ en los lados $BC, CA, AB$ respectivamente. Se definen los puntos $X, Y, Z$ como los puntos medios de los lados $EF, FD, DE$ respectivamente. Demostrar que las rectas $AX, BY, CZ$ son concurrentes.
Problema 30
Un cierto sistema de dibujo en computación utiliza triplas ordenadas como código para distinguir los colores, con las siguientes condiciones:
- Los tres números son enteros mayores que $0$ y menores que una constante $M$ dada ($M>1$).
- Si las proporciones entre los tres números son iguales para dos códigos, entonces esos códigos representan el mismo color. Por ejemplo, los códigos $(45, 30, 18)$ y $(60, 40, 24)$ representan el mismo color, ya que $\frac{60}{45} = \frac{40}{30} = \frac{24}{18}$, pero los códigos $(1, 2, 3)$ y $(7, 14, 28)$ no representan el mismo color porque $\frac{7}{1} \neq \frac{18}{3}$
¿Cuántos colores nuevos se obtienen al cambiar la cota $M$ por $M+1$?
Problema 31
Encuentre todas las sucesiones $a_1, a_2, a_3, \dots$ de números enteros que satisfagan las siguientes condiciones:
- Existen números enteros $c$ y $d$ tales que $a_n + a_{n+1} = (cn+d)^2$ para cada entero positivo $n$.
- Para cualquier número entero $k>2023$ hay $a_i$ y $a_j$ tales que $k = a_i - a_j$.
Problema 32
Sea $f(n)=an^2+n$. Demuestre que el conjunto de restos que deja $f(n)$ al dividir por $m$ es completo (es decir, contiene todos los restos de $0$ a $m-1$) si y solo si $m$ tiene la forma $p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ donde $p_1,p_2,\ldots ,p_k$ son los divisores primos de $a\neq 0$ y $a_1,a_2,\ldots ,a_k$ son números enteros no negativos.
Problema 33
Un grupo de $4046$ amigos va a jugar un torneo de videojuegos. Para esto, $2023$ de los amigos van a una sala donde hay $2023$ computadoras etiquetadas como $a_1, a_2, \dots, a_{2023}$ y los otros $2023$ amigos van a otra sala donde hay $2023$ computadoras etiquetadas como $b_1, b_2, \dots, b_{2023}$. Antes de tomar asiento, les explican que siempre el jugador que se siente en la computadora $a_i$ se enfrentará a los jugadores que se sienten en las computadoras $b_i, b_{i+2}, b_{i+3}, b_{i+4}$. Luego de sentarse y jugar la primera ronda, dentro de cada sala les piden que, antes de la segunda ronda, vuelvan a elegir computadora (eventualmente la misma). Luego de reordenarse, todos los jugadores notan que les toca enfrentarse a las mismas personas que en la misma ronda.
Probar que si algún jugador se volvió a sentar en la misma computadora que en la primera ronda, entonces todos lo hicieron. (Los índices se toman módulo $2023$.)
Problema 34
Decimos que un entero positivo $N$ es campeón si satisface:
- Es posible encontrar $34$ enteros consecutivos tales que su producto sea divisible por $N$ pero ninguno de los $34$ enteros sea divisible por $N$
- Es imposible encontrar $30$ enteros consecutivos tales que su producto sea divisible por $N$ pero ninguno de los $30$ enteros sea divisible por $N$.
Determinar todos los números campeones.
Problema 35
Dado un trapecio $ABCD$ de base menor $AB$, se construyen externamente al trapecio los cuadrados $ADEF$ y $BCGH$. Probar que la mediatriz de $AB$ pasa por el punto medio de $FH$.
Problema 36
En el pizarrón están escritos los números $2^3-2, 3^3-3, 4^3-4, \dots, (2n+1)^3-(2n+1)$, donde $n\geq 2$ es un entero. Una
operación consiste en borrar del pizarrón tres números elegidos al azar $a, b, c$ y escribir $\displaystyle\frac{abc}{ab+bc+ca}$. Se realizan varias operaciones hasta que en el pizarrón quedan solo dos números. Demostrar que la suma de los últimos dos números que quedan en el pizarrón es mayor que $16$.
Problema 37
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que cumplen las siguientes dos condiciones:
- $(x+y)f(x)f(y)=xyf(x+y)$,
- $|f(x)|\geq x$.
Problema 38
Se considera un árbol $T$ con raíz, donde cada uno de los vértices tiene exactamente $0$ ó $2$ hijos. Como es tradicional, los vértices sin hijos se denominan
hojas. Para cada vértice $v$ que no sea una hoja, sean $v_1$ y $v_2$ sus hijos. Se define como $p(v)$ el producto entre el número de hojas descendientes de $v$ por la rama de $v_1$ y el número de hojas de descendientes de $v$ por la rama $v_2$. Sea $s(T)$ la suma de $p(v)$ tomada sobre todos los vértices $v$ del árbol $T$ que no son hojas. Demuestre que el valor de $s(T)$ solamente depende del número de hojas de $T$ y no de la disposición de estas hojas.
Problema 39
Una circunferencia por el vértice $A$ de un triángulo $ABC$ ($AB \neq AC$) corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente, y al lado $BC$ en $P$ y $Q$, tales que $Q$ está entre $B$ y $P$. Hallar $\angle BAC$ si $MP \parallel AC$, $NQ \parallel AB$ y $\frac{BP}{CQ} = \frac{AB}{AC}$.
Problema 40
Sea $k$ un entero positivo. Se define $S_k$ como la familia de todas las sucesiones $x_0, x_1, x_2, \dots$ de racionales positivos donde $x_0$ es un entero positivo y $x_{n+1} = \displaystyle\frac{k}{x_0+x_1+\dots+x_n}$ para todo $n\geq 0$.
Suponga que $x_n$ se escribe de la forma $\displaystyle\frac{a_n}{b_n}$ donde $a_n$ y $b_n$ son enteros positivos que no comparten factores. ¿Para qué valores de $k$ existe una constante racional positiva $c$ tal que para toda sucesión de $S_k$ y todo $n\geq 2$ se cumple que $ca_n + b_n$ es el cuadrado de un entero?
Problema 41
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $BC>AB$ tal que los puntos $A$, $H$, $I$ y $C$ son concíclicos (donde $H$ es el ortocentro e $I$ el incentro del triángulo $ABC$). La recta $AC$ corta al circuncírculo del triángulo $BHC$ en el punto $T$, y la recta $BC$ corta al circuncírculo del triángulo $AHC$ en el punto $P$. Si las rectas $PT$ y $HI$ son paralelas, determinar las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$.
Problema 42
Se tiene un cubo de $3\times 3 \times 3$ dividido en $27$ cubitos unitarios. Llamaremos
franja a cualquier paralelepípedo de $1\times 1 \times 3$ que consiste de tres cubitos.
En cada cubito unitario hay escrito un número entero positivo de manera tal que todo número $n$ mayor que $1$ escrito en un cubito unitario es la suma de los números escritos en otros tres cubitos unitarios, uno de cada franja en la que está situado $n$. Demostrar que, no importa cómo se elijan los $27$ números, habrá entre ellos al menos $16$ que son menores o iguales que $60$.
Problema 43
Se tienen $20$ bombillas en una fila, numeradas de $1$ a $20$ de izquierda a derecha, que inicialmente se encuentran apagas. Una configuración de las bombillas consiste en elegir algunas de ellas y encenderlas. Una persona quiere encender algunas de las bombillas para lograr una configuración particular. Para eso primero escoge un número $n$ entre $2$ y $5$. Luego puede escoger $n$ bombillas consecutivas de la fila y cambiarlas de estado, repitiendo el proceso tantas veces como quiera (con $n$ inmodificable desde el primer paso).
a) Muestre que si la configuración que se quiere obtener tiene un número par de bombillas encendidas, siempre es posible lograrla mediante el procedimiento mencionado.
b) ¿Cuántas configuraciones diferentes se pueden obtener?
Problema 44
Las casillas de un tablero de $n\times n, n \geq 2$, tienen escrito $+1$ o $-1$. Denotamos $(i, j)$ a la casilla de la
i-ésima fila y
j-ésima columna, $i, j = 0,1, \dots, n-1$. Las casillas vecinas de $(i, j)$ son $(i, j-1), (i, j+1), (i-1,j), (i+1,j)$, donde la suma y la resta son módulo $n$. En cada etapa, el número de cada casilla se reemplaza por el producto de los números en las cuatro vecinas. Hallar todos los valores de $n$ para los que, a partir de cualquier tablero, al cabo de un número finito de etapas se obtiene el tablero con $+1$ en todas las casillas.
Problema 45
Hallar todas las funciones $g:\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ que cumplen la siguiente condición$$4g(x)g(y)=(g(x+y)-g(x)-g(y))^2.$$
Problema 46
En un triángulo acutángulo no isósceles $ABC$ sea $H$ su ortocentro. Considere la circunferencia $C_1$ que pasa por $H$ y que es tangente a la recta $AB$ en el punto $A$; y considere la circunferencia $C_2$ que pasa por $H$ y que es tangente a la recta $AC$ en el punto $A$. El segmento $BH$ se prolonga más allá de $H$ hasta intersecar a $C_1$ en $D$, y el segmento $CH$ se prolonga más allá de $H$ hasta intersecar a $C_2$ en $E$. El circuncírculo de $ABC$ interseca a la recta $BE$ en $F$ y a la recta $CD$ en $G$, con $F\neq B$ y $G\neq C$. Pruebe que $AF = AG$.
Problema 47
Gregorio escribe en un tablero $2023$ enteros no negativos. Luego cada minuto Santiago puede escoger algún número del tablero, restarle $1$ y sumarle $1$ a todos los demás números. Determinar el menor entero $k$ para el que Gregorio puede escribir números con suma $k$ y además es posible que Santiago pueda lograr mediante finitas operaciones que los números escritos en el tablero sean $2023$ enteros positivos consecutivos.
Problema 48
Bruno estaba programando cuando se le rompió la tecla $1$ de su teclado. Luego Bruno intentó escribir los números enteros desde $1$ hasta $10^k$, donde $k$ es un número entero positivo, con su teclado roto. Sustituyó, cuando fue posible, números que tienen el dígito $1$ (en base $10$) por una suma de dos números que no lo tienen, por ejemplo: $11 = 5+6$. Sin embargo, todavía hay números que no puede escribir, como $1$. ¿Cuántos números enteros desde $1$ hasta $10^k$ no puede escribir Bruno de esta manera?
Problema 49
Sean $ABC$ y $DEF$ dos triángulos equiláteros congruentes de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente tales que el segmento $AB$ corta a los segmentos $DE$ y $DF$ en $M$ y $N$ respectivamente, y el segmento $AC$ corta a los segmentos $DE$ y $DF$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Las bisectrices de los ángulos $E\hat{M}N$ y $D\hat{P}Q$ se cortan en $I$, y las bisectrices de los ángulos $F\hat{N}M$ y $E\hat{Q}P$ se cortan en $J$. Demostrar que $IJ$ es la mediatriz del segmento $O_1O_2$.
Problema 50
Hallar los números reales $x,y,z>0$ para los cuales$$xyz\leq \min \left \{4\left (x-\frac{1}{y}\right ),4\left (y-\frac{1}{z}\right ),4\left (z-\frac{1}{x}\right )\right \}.$$
Problema 51
En un torneo de ajedrez de $2005$ participantes, cada uno jugó contra todos los demás. Al final del torneo resultó que si dos jugadores $A$ y $B$ empataron su partida entonces cada uno de los restantes perdió con $A$ o perdió con $B$. Demostrar que si hubo al menos dos empates entonces todos los participantes se pueden ordenar de modo que cada uno ganó contra el siguiente en el orden.
Problema 52
Los enteros positivos $M$ y $n$ son tales que $M$ es divisible por todos los enteros desde $1$ hasta $n$, pero no es divisible por $n+1$, $n+2$ y $n+3$. Hallar todos los valores posibles de $n$.
Problema 53
El incírculo del triángulo $ABC$ con $AC>AB$ toca a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio del arco $\widehat{BAC}$ y $P$ el punto de intersección de las rectas $EF$ y $MD$. El punto $Q$ yace en el lado opuesto de $A$ con respecto a $BC$ y al mismo lado de $D$ con respecto a $CP$ y $CM$ tal que$$\angle BPD=\angle QPC\quad \text{y}\quad \angle BMD=\angle QMC.$$Sea $R$ el punto medio de $EF$. Demostrar que $QR$ biseca a $BC$.
Problema 54
Sea $ABC$ un triángulo fijo. Decimos que una recta $l$ es
balanceada si corta el interior de los segmentos $AC$ y $AB$ en puntos $P, Q$ respectivamente, de manera que el área del triángulo $APQ$ sea igual al área del cuadrilátero $BQPC$. Sea $X$ la intersección de $BP$ y $CQ$ y sea $Y$ el punto medio de $PQ$. Demuestre que la recta $XY$ pasa por un punto fijo a medida que variamos $l$ sobre todas las rectas balanceadas.
Problema 55
Sean $m$ y $n$ enteros positivos, con $m < 2^n$. Determinar el menor número posible de potencias de $2$, no necesariamente distintas dos a dos, tales que su suma es $m(2^n-1)$.
Problema 56
Una
diagonal de un polígono de al menos cuatro lados, no necesariamente convexo, es cualquier recta que pase por dos vértices no adyacentes del polígono. Determinar todos los polígonos de al menos cuatro lados que satisfacen la siguiente condición: el simétrico de cada vértice con respecto a cada diagonal está en el interior o en el borde del polígono.
Problema 57
Sea $N>1$ un entero. Una agencia de $N^3$ espías decide formar clanes para conspirar. Cada clan consta de $N^2$ espías y cada espía puede estar en varios clanes. Se sabe que para cada grupo de $N+1$ espías, hay exactamente un clan al que todos pertenecen. Determinar todos los valores de $N$ para los que esto es posible.
Problema 58
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle B > \angle C$. Consideramos los puntos $D, E, J, K, S$ en su circuncírculo $C(O)$ tales que $A, E, J, K$ están del mismo lado de la recta $BC$, y el diámetro $DE$ y la recta $BC$ son perpendiculares, $S \in \widehat{EK}$ y $\widehat{AE} = \widehat{BJ} = \widehat{CK} = \frac{1}{4}\widehat{CE}$.
Sean $F, M, P, Q$ los puntos de intersección de las rectas $AC$ y $DE$, $BK$ y $AD$, $BK$ y $AC$, $CJ$ y $BF$ respectivamente. Si $S\hat{M}K = 30^{\circ}$ y $A\hat{Q}P = 90^{\circ}$, demostrar que la recta $MS$ es tangente al circuncírculo del triángulo $AOF$.
Problema 59
Sea $M\geq 1$ un número real. Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen números enteros $a,b,c>M$ distintos dos a dos tales que$$n=(a,b)\cdot (b,c)+(b,c)\cdot (c,a)+(c,a)\cdot (a,b).$$(Aquí $(x,y)$ designa al máximo común divisor de los números enteros positivos $x,y$.)
Problema 60
Cuatro personas, $A_1, A_2, A_3, A_4$ juegan al siguiente juego con siete dados: $A_1$ arroja siete dados y le paga a cada uno de los otros tres jugadores $\frac{1}{k}$ del dinero que el correspondiente jugador tiene en ese momento, donde $k$ es la suma de los puntos de los siete dados. A continuación $A_2, A_3$ y $A_4$ hacen lo mismo. Al comienzo, todos los jugadores tienen la misma cantidad de dinero y luego de que todos jugaron una vez su dinero está en la proporción $3:3:2:2$. Determinar las sumas de los puntos de cada jugador.
Problema 61
En el triángulo $ABC$ sea $H$ en el interior del lado $AB$ tal que $CH \perp AB$. Los centros de las circunferencias inscritas en los triángulos $AHC$ y $BHC$ son $P$ y $Q$, respectivamente. Probar que el cuadrilátero $ABPQ$ es inscriptible si y sólo si $AC = BC$ o $\angle ACB = 90^{\circ}$
Problema 62
Sea $c$ un entero positivo fijo. La sucesión $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ de enteros positivos satisface $a_n < a_{n+1} < a_n+c$ para todo $n \geq 1$. Al escribir los términos de la sucesión consecutivamente se obtiene una tira infinita de dígitos. Demostrar que para todo entero positivo $m$ existe $k$ tal que el número formado por los $k$ primeros dígitos de la tira es divisible por $m$.
Problema 63
Consideramos un arreglo de $4 \times 4$ de enteros positivos distintos dos a dos tales que en cada columna, respectivamente fila, uno de los números es igual a la suma de los otros tres. Determinar el menor valor posible del mayor de los números que puede tener un tal arreglo.
Problema 64
Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ tal que $60^{\circ} < \angle BAC < 75^{\circ}$ y el ángulo $ACB$ es $60^{\circ}$. Sea $D$ un punto sobre el arco $BA$ donde $\angle ODA = \angle ACO$ y sean $P$ y $M$ los puntos de intersección de la recta $CO$ con los segmentos $AD$ y $AB$ respectivamente. Si $Q$ es un punto sobre el segmento $BC$ tal que $AP = CQ$ y $PQ$ corta a $BO$ en $N$, demuestre que $\frac{OM}{OB} = \frac{ON}{OP}$.
Problema 65
Determinar todos los enteros $n \geq 2$ que tienen al menos cuatro divisores positivos, con la propiedad de que para todos sus divisores distintos $d_1$ y $d_2$ de $n$ tales que $1 < d_1 < d_2 <n$ el número $d_2-d_1$ también es un divisor de $n$.
Problema 66
Sea $a$ un número real positivo. Demostrar que no existen números reales $b$ y $c$, con $b < c$, tales que $\bigg|\displaystyle\frac{x+y}{x-y}\bigg| \leq a$ para todos $x, y \in (b, c), x \neq y$.
Problema 67
Sea $ABCDEF$ un hexágono regular de lado $2$. Por los vértices y los puntos medios de los lados se construyen paralelas a los lados que dividen al hexágono en $24$ triángulos equiláteros congruentes, cuyos vértices denominamos
nodos. Una
hoja es cualquier triángulo equilátero (no degenerado) cuyos vértices son nodos. Un
trío de un nodo $X$ es la figura formada por tres hojas adyacentes tales que su intersección es solo $X$ y no hay dos que sean congruentes.
- Hallar el área máxima posible de un trío.
- Demostrar que existe un nodo cuyos tríos pueden cubrir todo el hexágono, y un nodo cuyos tríos no pueden cubrir todo el hexágono.
- Determinar el número total de tríos asociados al hexágono.
Problema 68
Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos distintos de la misma paridad. Demostrar que $\displaystyle\frac{a!+b!}{2^a}$ no es un entero.
Problema 69
Sean $M$ y $N$ puntos del lado $AB$ del triángulo $ABC$, con $M$ entre $A$ y $N$. La paralela a $AC$ por $M$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $MNC$ en $P$ y la paralela a $NC$ por $M$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $AMC$ en $Q$. Análogamente, la paralela a $BC$ por $N$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $MNC$ en $K$ y la paralela a $MC$ por $N$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $BNC$ en $L$.
- Demostrar que $P$, $Q$ y $C$ son colineales.
- Demostrar que $P$, $Q$, $K$ y $L$ son concíclicos si y sólo si $AM=BN$.
Problema 70
En un triángulo acutángulo $ABC, CA \neq CB$, sean $A_1$ y $B_1$ los puntos de tangencia de las circunferencias exinscriptas a $CB$ y $CA$, respectivamente, y $O$ el incentro. La recta $CO$ corta a la circunferencia circunscripta al triángulo $ABC$ en $P$. La recta perpendicular a $CP$ trazada por $P$ corta a la recta $AB$ en $Q$. Demostrar que las rectas $QO$ y $A_1B_1$ son paralelas.
Problema 71
Dado un entero positivo $a$, demostrar que $n!$ es divisible por $n^2+n+a$ para infinitos enteros positivos $n$.
Problema 72
Sea $n$ un entero positivo. Consideremos un conjunto $S$ de $n$ puntos del plano. Un conjunto
elegible es un conjunto no vacío de la forma $S \cap D$, donde $D$ es un círculo del plano. En función de $n$, determinar el menor número posible de subconjuntos elegibles que puede contener $S$.
Problema 73
Sean $n \in \mathbb N, n \geq 2$ y tres conjuntos de números reales $A, B, C$ disjuntos dos a dos, cada uno con $n$ elementos. Sea $a$ el número de tríos $(x, y, z) \in A\times B \times C$ para los cuales $x<y<z$ y sea $b$ el número de tríos $(x, y, z) \in A \times B \times C$ para los cuales $x > y > z$. Probar que $a-b$ es divisible por $n$.
Problema 74
Hallar el mayor valor posible de la expresión$$\frac{a+b-c}{a^3+b^3+abc}+\frac{b+c-a}{b^3+c^3+abc}+\frac{c+a-b}{c^3+a^3+abc},$$donde $a,b,c$ son números reales positivos tales que $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.
Problema 75
Consideremos un tablero de $n$ filas y $m$ columnas ($n,m\in \mathbb{N}$, $n,m\geq 2$) que consiste de $n\cdot m$ cuadrados de $1\times 1$ que llamaremos
casillas. Llamaremos
serpiente a una sucesión de casillas con las siguientes propiedades: la primera casilla está ubicada en la primera fila del tablero, contando desde arriba, y a partir de la segunda casilla, cada casilla de la serpiente tiene un lado en común con la casilla que la precede y no está ubicada en la fila que esta por encima de la casilla precede. La
longitud de una serpiente es el número de casillas que forman la serpiente. Determinar la media aritmética de las longitudes de todas las serpientes del tablero.
Problema 76
En un triángulo acutángulo $ABC$ de incentro $I$ y circuncentro $O$, sea $D$ el pie de la altura desde $A$. El circuncírculo de $BIC$ interseca en el interior de $ABC$ a las rectas $AD$ y $AO$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente, y la circunferencia de diámetro $AP$ interseca nuevamente a $AC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. Sean $X,Y,Z$ puntos sobre las rectas $BC,CA,AB$ respectivamente tales que $XD=DQ$, $YE=EQ$ y $ZF=FQ$. Pruebe que $P$ es el circuncentro de $XYZ$.
Problema 77
Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $P$, las diagonales $AE$ y $DF$ se cortan en $Q$, y la recta $PQ$ corta a los lados $BC$ y $EF$ en $X$ e $Y$ respectivamente. Demostrar que la longitud del segmento $XY$ es menor o igual que la suma de las longitudes de una de las diagonales por $P$ y una de las diagonales por $Q$.
Problema 78
La compañía de seguridad
El Osito Vigilante tiene a su cargo la supervisión de una región con forma de círculo. La compañía instala casetas dentro del círculo, y asigna un vigilante dentro de cada caseta. Debido al corto presupuesto de la empresa, el equipo de vigilancia tiene un problema: Cada vigilante sólo puede tener una visión clara de los puntos que están más cerca de su caseta que de cualquier otra. Sin embargo, como el personal está muy bien entrenado, si algo pasa a una distancia menor o igual que $d$ de una caseta, el vigilante de esa caseta puede "ver" que algo pasó, pero no identificarlo. Como ya se indicó, la compañía no está bien de recursos y dos vigilantes pueden hablar si y sólo si las regiones que pueden observar con claridad con sus equipos tiene una frontera común. Demostrar que si un vigilante $v_1$ ve algo, puede encontrar una sucesión de vigilantes $v_1, v_2, \dots, v_k$ tales que las siguientes condiciones se cumplen simultáneamente:
- Cada uno de los vigilante ve algo.
- $v_i$ y $v_{i+1}$ pueden hablar entre ellos.
- $v_k$ puede confirmar que es exactamente el evento observado por los otros.