Problema 1
Se colorean las casillas de un tablero de $8×8$ con varios colores (cada casilla lleva un solo color), de manera que si dos casilla se tocan exactamente en un vértice sean de distinto color, y también que si dos casillas están separadas por un salto de caballo, sean de distinto color. ¿Cuál es el menor número de colores que se deben usar para colorear el tablero?
(Por ejemplo, las casillas que están separadas por un salto de caballo de la casilla marcada con $\bullet$ son las que tienen $\times$.)
Problema 2
Siempre que Bruno corta una torta o un trozo de torta en dos pedazos obtiene dos nuevos pedazos de igual peso. Siempre que Bruno corta una torta o un trozo de torta en más de dos pedazos obtiene todos pedazos de distintos pesos, aunque puede lograr los pesos que él quiera (siempre que sean distintos). Después de varios cortes, Bruno dividió una torta en $N$ pedazos. Para cada $N \geq 10$, ¿puede ocurrir que todos estos pedazos tengan pesos iguales? (Está prohibido unir pedazos ya cortados.)
Problema 3
El Barón de Münchausen se enteró de que cierto polinomio $P(x)=a_nx^n+\cdots +a_1x+a_0$ es tal que el polinomio $P(x)+P(-x)$ tiene exactamente $45$ raíces reales distintas. El Barón no sabe cuánto vale el entero $n$, sin embargo, afirma que él puede determinar con certeza uno de los $n+1$ coeficientes $a_n,\ldots ,a_1,a_0$ (a elección del Barón), indicando su posición y su valor. Lo que ha dicho el Barón, ¿es verdad o es mentira?
Problema 4
Se han construido cinco triángulos equiláteros como en la figura. Los tres triángulos más grandes son iguales entre sí. Los dos triángulos más pequeños son iguales entre sí. Calcular la medida del ángulo $A\widehat{C}B$.