Problema 1
Un juego de rayuela consiste de $10$ cuadrados numerados consecutivamente del $1$ al $10$. Ana y Bea comienzan en el centro del cuadrado $1$ y saltan $9$ veces hacia los centros de otros cuadrados de manera que cada una visita cada cuadrado exactamente una vez y finaliza en el cuadrado número $10$. (Está permitido saltar hacia adelante o hacia atrás.) Cada salto de Ana fue de exactamente la misma longitud que el correspondiente salto de Bea. Determinar si esto significa que las dos visitaron los cuadrados en el mismo orden. (Si la respuesta es afirmativa, explicar por qué; si es negativa mostrar itinerarios posibles para Ana y Bea que no coincidan totalmente.)
Problema 2
Siempre que Bruno corta una torta o un trozo de torta en dos pedazos obtiene dos nuevos pedazos de igual peso. Siempre que Bruno corta una torta o un trozo de torta en más de dos pedazos obtiene todos pedazos de distintos pesos, aunque puede lograr los pesos que él quiera (siempre que sean distintos). Después de varios cortes, Bruno dividió una torta en $17$ pedazos. ¿Puede ocurrir que todos estos pedazos tengan pesos iguales? (Está prohibido unir pedazos ya cortados.)
Problema 3
Ocho granjeros se han dividido un campo con forma de tablero de $8×8$ que está rodeado por una cerca. Todo el campo está cubierto de frutillas (hay una frutilla en cada punto del campo, excepto en los puntos de la cerca que lo rodea). Los granjeros se han dividido el tablero en $8$ partes de áreas iguales, siguiendo líneas del tablero, pero los bordes no están marcados (ellos saben cuáles son). Cada granjero cuida las frutillas de su propio terreno, pero no cuida las del borde de su terreno. Un granjero puede detectar una pérdida si al menos dos frutillas desaparecen de su trozo de terreno (recordemos que no registra las del borde de su terreno). Un cuervo conoce toda la situación, pero no sabe cuáles son los terrenos de los granjeros, aunque sabe que los bordes están sobre líneas del tablero. Determinar si el cuervo puede sacar $9$ frutillas del campo sin correr el riego de que alguno de los granjeros lo descubra.
Problema 4
El cuadrilátero $ABCD$, de lados $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, tiene todos sus ángulos menores que $180^{\circ}$. Sus lados $AB$ y $CD$ son paralelos. Se sabe que los ángulos $D\widehat{A}C$ y $A\widehat{B}D$ son iguales. Además, los ángulos $C\widehat{A}B$ y $D\widehat{B}C$ son iguales. Determinar si necesariamente $ABCD$ es un cuadrado.