Problema 1
Dos jugadores juegan por turnos en un tablero de $3\times 1001$ cuyas casillas son inicialmente todas blancas. Cada jugador, en su turno, pinta de negro dos casillas ubicadas en una misma fila o en una misma columna, no necesariamente adyacentes. El jugador que no puede efectuar su movida, pierde el juego. Determinar cuál de los dos jugadores tiene estrategia que le permite ganar, no importa lo bien que juegue el oponente.
Problema 2
Se tienen $101$ números enteros $a_1,a_2,\ldots ,a_{101}$ tales que para cada índice $i$, con $1\leq i\leq 101$, $a_i+1$ es divisible por $a_{i+1}$ (considerar que $a_{102}=a_1$). Determinar el mayor valor que puede tener el más grande de los $101$ números.
Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo con todos sus ángulos agudos. El punto $B'$ de la recta $CA$ es tal que $A,C,B'$ están en ese orden en la recta y $B'C=AB$; el punto $C'$ de la recta $AB$ es tal que $A,B,C'$ están en ese orden en la recta y $C'B=AC$. Demostrar que el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $AB'C'$ pertenece a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.
Aclaración. La circunferencia circunscrita de un triángulo es la que pasa por sus tres vértices.
Problema 4
Hallar el menor valor posible de $\dfrac{(x^2+1)(4y^2+1)(9z^2+1)}{6xyz}$ si las variables $x,y,z$ son números reales positivos (no necesariamente enteros).
Problema 5
En un tablero, decimos que una casilla está amenazada por un caballo si el caballo puede moverse desde la casilla donde se encuentra hasta la casilla amenazada en una movida de caballo. Un caballo, según donde se encuentre, puede amenazar hasta $8$ casillas (puede amenazar menos). En un tablero de $10×10$, determinar la mayor cantidad de caballos que se pueden ubicar de manera que cada casilla del tablero reciba, como mucho, la amenaza de un caballo (puede no recibir ninguna).
Aclaración: En una movida, el caballo se mueve, desde la posición en la que se encuentra, una casilla en sentido horizontal o vertical seguida de dos casillas en una dirección perpendicular.
Problema 6
Determinar todas las parejas de enteros positivos $(n,k)$ para las que se verifica$$n!+n=n^k.$$
Aclaración: Para cada entero positivo $n$ se denomina
factorial de $n$ a la multiplicación de todos los enteros desde $1$ hasta $n$ y se denota $n!$.