Problema 1
Fabri escribe una lista con todos los números que satisfacen las siguientes cuatro propiedades:
- Son pares.
- Tienen $10$ dígitos.
- No contienen al dígito $0$.
- La diferencia entre cada par de dígitos consecutivos es $3$.
Por ejemplo, $1474741414$ está en la lista de Fabri, pero $2585852585$, $1471471414$ y $3636363630$ no.
Calcular la cantidad de números en la lista de Fabri.
Problema 2
En el último Nacional de OMA participaron $2024$ personas. Para definir al ganador del certamen, decidieron organizar un partido de fútbol. Al momento de armar los equipos, Jolo enumeró a los participantes del $1$ al $2024$ según su ranking FIFA, y envió a los participantes con ranking impar al equipo $A$, y a los participantes con ranking par al equipo $B$.
Cuando terminó el partido, Martín notó que cada jugador marcó para su equipo una cantidad de goles igual al cuadrado de su ranking, es decir, el jugador $1$ metió $1^2=1$ gol, el jugador $2$ metió $2^2=4$ goles, y así sucesivamente hasta el jugador $2024$, que metió $2024^2=4.096.576$ goles.
Determinar qué equipo fue el ganador y calcular cuál fue la diferencia de goles entre los equipos del partido.
Problema 3
Se tiene un cuadrilátero $ABCD$. Se marca un punto $M$ en el lado $AD$ tal que $AM=MD$. Los segmentos $AC$ y $BM$ se cortan en $G$. Se sabe que$$A\widehat BM=50^\circ ,\quad A\widehat DC=60^\circ ,\quad B\widehat GC=70^\circ \quad \text{y}\quad A\widehat MB=80^\circ .$$Determinar la medida del ángulo $B\widehat CA$.
Problema 4
Martu tiene una calculadora con una pantalla y un único botón. Al principio, la pantalla muestra el número $1$.
Al apretar el botón, el número de la pantalla se reemplaza por la suma entre ese número y el dígito de sus unidades. Por ejemplo, luego de apretar el botón varias veces, la pantalla mostrará sucesivamente$$1\to 2\to 4\to 8\to 16\to 22\to 24\to\cdots$$
- Determinar qué número mostrará la pantalla si Martu presiona el botón $2024$ veces.
- Determinar cuántos de los números mostrados por la pantalla fueron múltiplos de $3$.
- Demostrar que, sin importar cuántas veces Martu presione el botón, seguirán apareciendo múltiplos de $3$ en la pantalla.
Problema 5
Sea $ABCD$ un cuadrado. Sobre el lado $BC$ se construye un triángulo equilátero $BCE$, exterior al cuadrado. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $CD$ y $AE$, respectivamente. Demostrar que $N\widehat MC=60^\circ$.
Problema 6
Alan y Mili juegan al siguiente juego.
Primero, Alan elige un número entero positivo $n$. Luego, Mili escribe una lista de números con las siguientes tres reglas.
- El primer número de la lista es $n$.
- Cada número después del primero es el resultado de tomar el número anterior, suprimir su dígito de las unidades y sumarle a la parte restante cuatro veces el dígito suprimido.
- Si un número aparece por segunda vez, la lista termina.
Por ejemplo, si Alan elige el número $214$, el siguiente número es $21+4\cdot 4=37$, y a partir de ahí los números que escribe Mili son$$214\to 37\to 31\to 7\to 28\to 34\to 19\to 37.$$El proceso acaba porque el número $37$ fue escrito por segunda vez.
Demostrar que si $n$ es múltiplo de $39$, entonces el último número que escribe Mili es el $39$.
Problema 7
Fede encontró una piedra de $40\text{ kg}$ en el jardín de la casa de su tía. Tristemente, se le cayó la piedra y se rompió en cuatro pedazos.
La tía de Fede tiene una balanza de dos platillos con aguja. Cada vez que usa la balanza, Fede coloca algunos pedazos de la piedra en cada platillo (puede dejar pedazos sin usar), y la aguja marca la diferencia entre los pesos de cada platillo. Fede notó que puede lograr que la aguja marque todos los valores enteros entre $1$ y $40\text{ kg}$, inclusive.
¿Cuánto pesa cada uno de los cuatro pedazos?
Problema 8
En un tablero cuadriculado, un
tetrominó es un conjunto de $4$ casillas conectadas por sus lados. Por ejemplo, la figura de la izquierda es un tetrominó, pero la de la derecha no lo es.
Juan quiere colorear de negro algunas casillas en un tablero de $4\times 3000$, de forma tal que no haya ningún tetrominó que tenga sus cuatro casillas pintadas. ¿Cuál es la mayor cantidad de casillas que puede colorear Juan para que se cumpla su objetivo?
Problema 9
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que$$f(x(x+f(y)))=(x+y)f(x)$$para todos $x,y\in \mathbb{R}$.
Problema 10
Sea $n$ un entero positivo. Iván tiene un juego de $n$ fichas, numeradas de $1$ a $n$ (cada número aparece exactamente una vez). Originalmente las fichas están en el orden$$n,n-1,n-2,\ldots ,2,1,$$es decir, en orden decreciente. En cada paso, Iván puede intercambiar la posición de dos fichas que tengan escritos números cuya diferencia sea $1$. El objetivo del juego es lograr que las fichas estén en el orden$$1,2,3,\ldots ,n-1,n,$$es decir, en orden creciente.
Hallar la menor cantidad de pasos necesarios para que Iván cumpla su objetivo.
Problema 11
Sea $n$ un entero positivo. En un pizarrón están escritas las $n$ fracciones$$\frac{1}{n},\frac{2}{n-1},\frac{3}{n-2},\ldots ,\frac{n-1}{2},\frac{n}{1}.$$Ro calculó la diferencia entre cada pareja de fracciones consecutivas y expresó los resultados como fracciones irreducibles, formando una nueva lista de $n-1$ fracciones.
Lola contó las fracciones escritas por Ro y notó que había $10000$ que eran de la forma $1/k$, con $k$ entero. Demostrar que entonces hay al menos $5000$ fracciones más (además de las que notó Lola) de la forma $1/k$, con $k$ entero.
Problema 12
Sea $ABC$ un triángulo y sea $\Omega$ su circuncírculo. Se marca un punto $X$ en el interior el triángulo $ABC$ tal que$$B\widehat AX=2\cdot X\widehat BA\quad \text{y}\quad X\widehat AC=2\cdot A\widehat CX.$$Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ de $\Omega$ que contiene al punto $A$. Demostrar que $XM=XA$.
Problema 13
Sea $n\geq 2$ un entero positivo y sean $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ números reales no negativos cuya suma es $\frac{n}{2}$. Para cada $i=1,2,\ldots ,n$, Tito calculó el valor de la expresión$$a_i+a_ia_{i+1}+a_ia_{i+1}a_{i+2}+\cdots +a_ia_{i+1}a_{i+2}\cdots a_{i+n-2}+2a_ia_{i+1}a_{i+2}\cdots a_{i+n-2}a_{i+n-1},$$donde $a_{j+n}=a_j$ para todo $j$. Demostrar que alguno de los valores calculados por Tito es mayor o igual a $1$.
Problema 14
Sean $I$ el incentro y $O$ el excentro correspondiente al punto $A$ del triángulo $ABC$. Sean $D$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$ y $E$ el pie de la perpendicular desde $I$ a $BC$. Las rectas $AD$ y $EO$ se cortan en $X$. Sea $P$ el circuncentro de $BXC$. Si $X$ está en el incírculo de $ABC$, demostrar que el circuncírculo de $BPC$ es tangente al excírculo correspondiente al punto $A$ de $ABC$.
Problema 15
Feli tiene un polígono convexo al que quiere cubrir completamente con paralelogramos, sin que se superpongan ni se salgan del polígono. Después de mucho intentar, logró cubrirlo con $2024$ paralelogramos. Demostrar que Feli puede lograr su objetivo utilizando únicamente $2023$ paralelogramos.
Problema 16
Decimos que un entero positivo es
split si la suma de sus divisores es un cuadrado perfecto. Demostrar que existen infinitos enteros positivos que son split.