Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Nacional • 2023 • Nivel 2


Problema 1
Decimos que un entero positivo es un número bueno si el dígito $2$ aparece más veces que el $3$, y que es un número malo si el dígito $3$ aparece más veces que el $2$. Por ejemplo, $2023$ es bueno y $123$ no es ni bueno ni malo. Calcular la resta de la cantidad de números buenos menos la cantidad de números malos para los enteros menores o iguales que $2023$.

Problema 2
Dado el número $720$, Juan debe elegir $4$ números que sean divisores de $720$. Él gana si para cada uno de sus cuatro números vale que ese número no es divisor de la multiplicación de los otros tres. Decidir si Juan puede ganar.

Problema 3
En el paralelogramo $ABCD$, la longitud del lado $AB$ es igual a la mitad de la del lado $BC$. La bisectriz del ángulo $A \hat{B} C$ corta al lado $AD$ en $K$ y a la diagonal $AC$ en $L$. La bisectriz del ángulo $A \hat{D} C$ corta a la prolongación del lado $AB$ en $M$, con $B$ entre $A$ y $M$. La recta $ML$ corta al lado $AD$ en $F$. Calcular el cociente $\frac{AF}{AD}$.

Problema 4
Al inicio Igna distribuye $1000$ bolillas en $30$ cajas. Luego Igna y Mica juegan alternadamente, comenzando por Igna. Cada jugador, en su turno, elige una caja y retira una bolilla. Cuando un jugador retira la última bolilla de una caja, gana una moneda. Hallar el máximo entero $k$, tal que independientemente de cómo juegue Mica, Igna puede ganar por lo menos $k$ monedas.

Problema 5
Un paralelepípedo recto pintado de azul se corta en cubitos de $1 \times 1$. Hallar las posibles dimensiones, si la cantidad de cubitos sin caras azules es igual a un tercio de la cantidad total de cubitos.
ACLARACIÓN: Un paralelepípedo recto es un cuerpo de $6$ caras, todas ellas rectángulos (o cuadrados).

Problema 6
Se tiene una fila de $n$ sillas, numeradas ordenadamente de izquierda a derecha de $1$ a $n$. Además, en los respaldos de las sillas se distribuyen los $n$ números de $1$ a $n$, uno en cada silla, de modo que en ningún caso coincida el número de la silla con el número de su respaldo. Hay un niño sentado en cada silla. Cada vez que la profesora aplaude, cada niño se fija cuál es el número del respaldo de la silla en la que está sentado y se sienta en la silla numerada con ese número. Demostrar que, para todo $m$ que no sea una potencia de un primo, con $1<m \leq n$, es posible distribuir los números de los respaldos de manera tal que después de que la profesora haya aplaudido $m$ veces, por primera vez estén todos los niños sentados en las sillas donde se encontraban sentados al inicio del juego.
(Durante el proceso, puede ocurrir que los niños regresen a sus sillas originales, pero no lo hacen todos al mismo tiempo hasta la señal número $m$.)