Problema 1
Un entero $n\geq 2$ se dice
tuanis si al sumar el menor divisor primo de $n$ y el mayor divisor primo de $n$ (estos divisores pueden ser iguales), se obtiene un resultado impar. Calcular la suma de todos los números tuanis menores o iguales que $2023$.
Nota: Por ejemplo, el $3$ no es tuanis porque $3+3$ es par.
Problema 2
En cada casilla de una cuadrícula de $n\times n$ se debe escribir alguno de los números $0$, $1$ o $2$. Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe una forma de llenar la cuadrícula de $n\times n$ tal que al calcular la suma de los números en cada fila y en cada columna se obtienen los números $1,2,\ldots ,2n$, en algún orden.
Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D$, $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. La recta $EF$ y el circuncírculo de $ABC$ se intersecan en $P$, de forma que $F$ está entre $E$ y $P$. Las rectas $BP$ y $DF$ se intersecan en $Q$. Demostrar que si $ED=EP$, entonces $CQ$ y $DP$ son paralelas.
Problema 4
En un triángulo acutángulo $ABC$, $D$ es un punto sobre el segmento $BC$. Sean $R$ y $S$ los pies de las perpendiculares desde $D$ hasta $AC$ y $AB$, respectivamente. La recta $DR$ y el circuncírculo de $BDS$ se intersecan en $X$, con $X\neq D$. Análogamente, la recta $DS$ y el circuncírculo de $CDR$ se intersecan en $Y$, con $Y\neq D$. Demostrar que si $XY$ es paralelo a $RS$, entonces $D$ es el punto medio de $BC$.
Problema 5
Determinar todas las parejas de números primos $(p,q)$ tales que $6pq$ divide a$$p^3+q^2+38.$$
Problema 6
Sea $n\geq 2$ un entero. Lucía escoge $n$ números reales $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ tales que $|x_i-x_j|\geq 1$ para todo $i\neq j$. Luego, en cada una de las casillas de una cuadrícula de $n\times n$, ella escribe alguno de estos números, de modo que no se repite ningún número en una misma fila o una misma columna. Finalmente, para cada casilla, ella calcula el valor absoluto de la diferencia del número de la casilla y el número en la primera casilla de su misma fila. Determinar el menor valor que puede tomar la suma de los $n^2$ números que Lucía calculó.