Problema 1
Una lista de $n$ números enteros positivos $a_1,a_2,a_3,\ldots ,a_n$ se dice
buena si verifica simultáneamente:
- $a_1<a_2<a_3<\cdots <a_n$,
- $a_1+a_2^2+a_3^3+\cdots +a_n^n\leq 2023$.
Para cada $n\geq 1$, determinar cuántas listas buenas de $n$ números existen.
Aclaración: $a_k^k=\underbrace{a_k\cdot a_k\cdot \ldots \cdot a_k}_{k\text{ veces}}$.
Problema 2
Se cuadricula el plano formando un tablero infinito. En cada casilla de este tablero hay una lámpara, inicialmente apagada. Una operación permitida consiste en elegir un cuadrado de $3\times 3$, $4\times 4$ o $5\times 5$ casillas y cambiar de estado todas las lámparas de ese cuadrado (las que están apagadas pasan a estar encendidas y las que están encendidas pasan a estar apagadas).
- Demostrar que para cualquier conjunto finito de lámparas es posible lograr, mediante una sucesión finita de operaciones permitidas, que esas sean las únicas lámparas encendidas del tablero.
- Demostrar que si en una sucesión de operaciones permitidas sólo se usan dos de los tres tamaños de cuadrados, entonces es imposible lograr que al final las únicas lámparas encendidas del tablero sean las de un cuadrado de $2\times 2$ casillas.
Problema 3
En un semiplano, delimitado por una recta $r$, se tienen triángulos equiláteros $S_1,S_2,\ldots ,S_n$, cada uno de éstos con un lado paralelo a $r$, y cuyo vértice opuesto es el punto del triángulo a mayor distancia de $r$.
Para cada triángulo $S_i$, sea $T_i$ su triángulo medial. Sean $S$ la región cubierta por los triángulos $S_1,S_2,\ldots ,S_n$ y $T$ la región cubierta por los triángulos $T_1,T_2,\ldots ,T_n$.
Demostrar que$$\text{área}(S)\leq 4\cdot \text{área}(T).$$
Aclaración: El triángulo medial de un triángulo $ABC$ es aquel cuyos vértices son los puntos medios de los lados $AB$, $BC$ y $CA$.
Problema 4
Consideramos la sucesión de números enteros definida por $a_1=1$, $a_2=2$, y para cada $n\geq 2$, $a_{n+1}$ es el mayor divisor primo de $a_1+a_2+\cdots +a_n$.
Calcular $a_{100}$.
Problema 5
Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y $D,E,F$ los puntos medios de $BC,CA,AB$, respectivamente. La circunferencia de diámetro $AD$ interseca por segunda vez a las rectas $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. La paralela a la recta $BC$ por $P$ interseca a $DE$ en el punto $R$ y la paralela a la recta $BC$ por $Q$ interseca a $DF$ en el punto $S$. La circunferencia circunscrita de $DPR$ interseca nuevamente a $AB$ en $X$, la circunferencia circunscrita de $DQS$ interseca nuevamente a $AC$ en $Y$, y estas dos circunferencias se intersecan nuevamente en el punto $Z$. Demostrar que $Z$ es el punto medio de $XY$.
Problema 6
Sean $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ números reales positivos. Para cada entero positivo $k$, sea$$S_k=x_1^k+x_2^k+\cdots +x_n^k.$$
- Demostrar que si $S_1<S_2$ entonces la sucesión $S_1,S_2,S_3,\ldots$ es estrictamente creciente.
- Demostrar que existen $n$ y números positivos $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ tales que $S_1>S_2$ y la sucesión $S_1,S_2,S_3,\ldots$ no es estrictamente decreciente.