Problema 1
Consideremos un tetraedro en $\mathbb{R}^3$. Sobre cada cara se define un vector ortogonal a ella, de magnitud igual a su área. Probar que la suma de los cuatro vectores es igual a $0$.
Problema 2
Sea $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ una función continuamente diferenciable tal que su matriz Jacobiana es una matriz escalar, es decir, de la forma $\varphi(x)\text{Id}_n$ para una función $\varphi :\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ y donde $\text{Id}_n$ denota la matriz identidad $n\times n$. Demostrar que $\varphi$ es una función constante.
Problema 3
Decidir si la siguiente serie es convergente:$$\sum \limits _{n=1}^\infty \frac{\operatorname{sen}^2(\sqrt{n})}{n}.$$
Problema 4
Sea $\mathcal{C}=\{(i_1,j_1),\ldots ,(i_\ell ,j_\ell )\}$ un conjunto finito de pares de enteros no negativos. Se desea elegir enteros positivos $a_1,\ldots ,a_\ell$ de modo que el polinomio en dos variables$$p(x,y)=\sum \limits _{k=1}^\ell a_kx^{i_k}y^{j_k}$$sea acotado inferiormente en $\mathbb{R}^2$. Probar que esto es posible si y sólo si la cápsula convexa de $\mathcal{C}\cup \{(0,0)\}$ en $\mathbb{R}^2$ es un polígono cuyos vértices tienen ambas coordenadas números pares.
Problema 5
Se tiene una hilera infinita de cajas puestas una al lado de la otra$$\ldots c_{−2},c_{−1},c_0,c_1,c_2,\ldots$$indexadas por los números enteros. En una de las cajas está escondida una rana. Queremos encontrarla pero sólo tenemos permitido abrir una caja por día. Se puede elegir cualquiera y abrirla. Si la rana se encuentra allí, entonces se la atrapa. Si no, debemos cerrar la caja abierta y, durante la noche, sin que nadie pueda verla, la rana saltará a una de las dos cajas vecinas a la que se encontraba. Esto ocurrirá cada noche posterior a un intento fallido por encontrarla durante el día.
$\:\:\:\:$ Decidir en cada caso si existe una estrategia que permita encontrar a la rana en una cantidad
finita de días, independientemente de dónde se encuentre inicialmente y de cuáles sean sus saltos:
- Si la rana sólo puede moverse entre las cajas indexadas por los enteros $1,2,\ldots ,2021,2022$.
- Si la rana sólo puede moverse entre las cajas indexadas por los enteros positivos.
- Si no hay restricciones sobre dónde podría estar la rana.
Problema 6
Para cada entero positivo $n$, denotemos por $p_n$ la probabilidad de que Ana le gane a Beto en el siguiente juego cuando ambos juegan de manera óptima:
$\:\:\:\:$ Primero Ana elige una secuencia de caras y cecas de longitud $n$. A continuación Beto hace lo mismo, seleccionando una secuencia distinta de la de Ana. Una vez fijadas ambas secuencias, se tira una moneda reiteradamente hasta que en los resultados de las tiradas aparezca de manera consecutiva alguna de las secuencias seleccionadas. Gana quien haya elegido la secuencia que apareció.
$\:\:\:\:$ Demostrar que existe y calcular$$\lim \limits _{n\to \infty}p_n.$$