Archivo de Enunciados • Listas de problemas • OMEO • 2018 • Nivel 1


Problema 1
¿Es posible distribuir los números $1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,7^2,8^2,9^2$ en las casillas de un tablero cuadrado de $3\times 3$ de forma que la suma de los números de cada fila sea la misma y la suma de los números de cada columna sea la misma? Si es posible, mostrar cómo puede hacerse. Si no es posible, explicar por qué.

Problema 2
Decimos que un número natural es representable si es igual a la suma de varios (por lo menos $2$) números naturales consecutivos. Por ejemplo, $57$ es representable porque $57=7+8+9+10+11+12$. Decidir si cada uno de los números $2016, 2017, 2018, 2032, 2048$ es representable o no.

Nota: El $0$ no es un número natural

Problema 3
Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$, y lados no paralelos $BC$ y $DA$, y una semicircunferencia con centro en el segmento $AB$ y tangente a los otros tres lados del trapecio. Si $AB = 15$ y $DA = 6$, calcular la medida de $BC$.

Nota: Si $P$ es un punto de una circunferencia de centro $O$, la recta tangente a la circunferencia en $P$ es perpendicular al radio $OP$.