Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Torneo de las Ciudades • Torneo de las ciudades 2019-2020 • Marzo 2020 • Nivel Mayor


Problema 1
Consideramos las dos parábolas $y=x^2$ e $y=x^2-1$. Sea $U$ el conjunto de los puntos comprendidos entre las dos parábolas (incluyendo los puntos de las parábolas). Determinar si $U$ contiene un segmento de longitud mayor a $10^6$.

Problema 2
Ana eligió tres enteros $a, b, c$ y luego buscó tres enteros positivos $x, y, z$ tales que $a=\text{mcm}(x,y)$, $b=\text{mcm}(x,z)$, $c=\text{mcm}(y,z)$. Resultó que esos tres enteros $x, y, z$ existen y son únicos. Ana le contó esto a Beto y también le dijo los números $a$ y $b$. Demostrar que Beto, con esta información, puede calcular $c$. (Nota: mcm= indica el mínimo común múltiplo.)

Problema 3
Determinar si hay un tetraedro que se pueda cortar con un plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado menor o igual que $1$, y también cortar por otro plano de modo que la sección sea un cuadrado de lado mayor o igual que $100$.

Problema 4
En la fiesta de cumpleaños de Pedro hay $2N$ personas. Pedro tiene $N$ sombreros blancos y $N$ sombreros negros. Él quiere distribuir los sombreros entre los invitados y a continuación formar uno o varios círculos con todos los invitados de modo que en cada círculo haya por lo menos dos personas y si dos personas están en un mismo círculo una al lado de la otra, los colores de sus sombreros sean siempre distintos. Demostrar que Pedro puede hacer la distribución de los sombreros de $(2N)!$ maneras distintas.

(Todos los sombreros del mismo color son idénticos y todos los invitados son, obviamente, distintos; $(2N)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 2N$.)

Problema 5
Sea el cuadrilátero $ABCD$ inscripto en una circunferencia. Las circunferencias de diámetro $AB$ y $CD$ se cortan en dos puntos, $X_1$ e $Y_1$, las circunferencias de diámetros $BC$ y $AD$ se cortan en dos puntos $X_2$ e $Y_2$, las circunferencias de diámetro $AC$ y $BD$ se cortan en dos puntos, $X_3$ e $Y_3$. Demostrar que las rectas $X_1Y_1$, $X_2Y_2$, $X_3Y_3$ concurren en un punto.

Problema 6
En el pizarrón están escritos $2n$ enteros consecutivos. Está permitido organizarlos en parejas y luego reemplazar, al mismo tiempo, cada pareja por una nueva pareja formada por la suma de los dos números de la pareja original y la resta, no necesariamente positiva, de los dos números de la pareja original. Demostrar que es imposible volver a obtener nuevamente $2n$ enteros consecutivos.

Problema 7
Consideramos el plano infinito dividido en casillas de $1 \times 1$. Determinar para que valores de $k$ es posible colorear de negro una cantidad finita de casillas de modo que en cada línea horizontal, en cada línea vertical y en cada línea diagonal haya o bien exáctamente $k$ casillas negras o bien ninguna casilla negra.