Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Torneo de las Ciudades • Torneo de las ciudades 2019-2020 • Octubre 2019 • Nivel Mayor


Problema 1
El polinomio $P(x,y)$ es tal que para todo entero $n\geq 0$ cada uno de los polinomios $P(n,y)$ y $P(x,n)$ es o bien el polinomio nulo o tiene grado menor o igual que $n$. ¿Es posible que el polinomio $P(x,x)$ tenga grado impar?

Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Supongamos que los puntos $A', B',C'$ pertenecen a los lados $BC, AC, AB$ respectivamente, y los segmentos $AA', BB', CC'$ se cortan en un punto común $P$ interior al triángulo. Para cada uno de estos segmentos consideramos la circunferencia que tiene a ese segmento por diámetro y trazamos la cuerda que contiene al punto $P$ y es perpendicular a este diámetro. Estas tres cuerdas tienen las tres la misma longitud. Demostrar que $P$ es el ortocentro del triangulo $ABC$. (O sea, el punto en el que se cortan las alturas de $ABC$.)

Problema 3
Se tienen $100$ monedas todas del mismo aspecto, de tres tipos: oro, plata y bronce. Hay por lo menos una moneda de cada tipo. Cada moneda de oro pesa $3g$, cada moneda de plata pesa $2g$ y cada moneda de bronce pesa $1g$. Mostrar cómo se puede determinar de qué tipo es cada moneda utilizando no más de $101$ veces una balanza de dos platos exclusivamente. (La balanza de dos platos indica cuál de los dos objetos colocados en sus dos platos es más pesado o si son de igual peso.)

Problema 4
Consideramos una sucesión creciente de números positivos$$\ldots <a_{-2}<a_{-1}<a_0<a_1<a_2<\ldots$$infinita en ambas direcciones. Para cada entero positivo $k$ sea $b_k$ el menor entero tal que el cociente entre la suma de $k$ términos consecutivos de la sucesión y el mayor de esos $k$ elementos es menor o igual que $b_k$ y esto ocurre para toda colección de $k$ términos consecutivos. Demostrar que la sucesión $b_1,b_2,b_3,\ldots$ o bien coincide con la sucesión $1,2,3,\ldots$ o bien se hace constante a partir de algún punto.

Problema 5
El punto $M$ en el interior del cuadrilátero $ABCD$ está a la misma distancia de las rectas $AB$ y $CD$ y también está a la misma distancia de las rectas $BC$ y $AD$. Además, el área del cuadrilátero $ABCD$ es igual a $MA\cdot MC+MB\cdot MD$. Demostrar que el cuadrilátero $ABCD$

a) tiene circunferencia inscrita (tangente a sus cuatro lados);
b) es cíclico (sus cuatro vertices pertenecen a una circunferencia).

Problema 6
Un cubo que consiste de $(2N)^3$ cubitos unitarios está atravesado por varias agujas paralelas a los lados del cubo (cada aguja atraviesa exactamente $2N$ cubitos unitarios). Cada cubito unitario está atravesado por al menos una aguja. Diremos que un conjunto de agujas es regular si no hay dos agujas del conjunto que atraviesen el mismo cubito unitario.

a) Demostrar que existe un conjunto regular que consiste de $2N^2$ agujas tales que todas ellas tienen la misma dirección o tienen dos direcciones diferentes.
b) ¿Cuál es el mayor tamaño que puede tener, con certeza, un conjunto regular?

Problema 7
Algunos de los enteros $1, 2, 3,..., n$ han sido coloreados de rojo de modo que para cada trío de números rojos $a, b, c$ (no necesariamente distintos) si $a(b-c)$ es múltiplo de $n$ entonces $b=c$. Demostrar que la cantidad de números rojos es menor o igual que $\varphi (n)$, donde $\varphi (n)$ es la cantidad de enteros positivos menores que $n$ que son coprimos con $n$.