Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Torneo de las Ciudades • Torneo de las ciudades 2019-2020 • Octubre 2019 • Nivel Juvenil


Problema 1
Para cada entero $n >1$ llamamos complejidad de $n$ a la cantidad de factores primos que tiene $n$. Por ejemplo, la complejidad de $4$ es igual a $2$ y la complejidad de $6$ es igual a $2$.
a) Hallar todos los $n$ tales que todos los enteros comprendidos estrictamente entre $n$ y $2n$ tienen complejidad menor o igual que la complejidad de $n$.
b) Hallar todos los $n$ tales que todos los enteros comprendidos estrictamente entre $n$ y $2n$ tienen complejidad menor que la complejidad de $n$.

Problema 2
Dos triángulos acutángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ son tales que $B_1$ y $C_1$ pertenecen al lado $BC$ y $A_1$ es un punto interior del triángulo $ABC$. Si $S$ y $S_1$ son las áreas de los triángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ respectivamente,
demostrar que $\frac{S}{AB+AC}>\frac{S_1}{A_1B_1+A_1C_1}$.

Problema 3
Se tienen $100$ monedas todas del mismo aspecto, de tres tipos: oro, plata y bronce. Hay por lo menos una moneda de cada tipo. Cada moneda de oro pesa $3g$, cada moneda de plata pesa $2g$ y cada moneda de bronce pesa $1g$. Mostrar cómo se puede determinar de qué tipo es cada moneda utilizando no más de $101$ veces una balanza de dos platos exclusivamente. (La balanza de dos platos indica cuál de los dos objetos colocados en sus dos platos es más pesado o si son de igual peso.)

Problema 4
Sea $O$ el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo $ABC$. Sea $P$ en la bisectriz interior del ángulo $\widehat B$ tal que $OP$ es perpendicular a esta bisectriz y sea $Q$ en la bisectriz exterior del angulo $\widehat B$ tal que $OQ$ es perpendicular a esta bisectriz. Demostrar que la recta $PQ$ divide al segmento que une a los puntos medios de $CB$ y $AB$ en dos parte iguales.

Problema 5
Diremos que un par de enteros positivos distintos $(m,n)$ es bello si $mn$ y $(m+1)(n+1)$ son cuadrados perfectos. Demostrar que para todo entero positivo $m$ existe por lo menos un entero $n>m$ tal que el par $(m,n)$ es bello.

Problema 6
Pedro tiene varios billetes de $100$ pesos y no tiene más que ese dinero. Él comienza a comprar libros; cada libro cuesta una cantidad entera de pesos, y él recibe el vuelto en monedas de un peso. Siempre que Pedro compra un libro caro, de $100$ pesos o más, solo usa para pagar billetes de $100$ pesos, y además utiliza la menor cantidad posible de estos billetes. Siempre que compra un libro barato (de menos de $100$ pesos), él usa sus monedas, si tiene suficientes, y si no paga, con $100$ y recibe su vuelto. Cuando ya no tiene más billetes de $100$ pesos, Pedro ha gastado exactamente la mitad de su dinero. ¿Es posible que haya gastado $5000$ o más?

Problema 7
Pedro tiene un sello gigante de madera con forma de tablero dividido en casillas. Él pinta $102$ casillas, a su elección, con tinta negra. A continuación, el aplica el sello $100$ veces sobre una hoja de papel, de modo que en cada aplicación exactamente $102$ casillas dejan su marca negra en la hoja. ¿Es posible que luego de repetir esta aplicación (con las mismas $102$ casillas del sello entintadas) quedé marcada sobre la hoja de papel un tablero cuadrado de $101\times 101$ en el que todas las casillas, excepto una esquina, son negras?