Problema 1
Juan tiene fichas de $4$ tipos $B$, $N$, $A$ y $R$ guardadas en tres cajas numeradas $I$, $II$ y $III$.
La caja $II$ tiene $50%$ más de fichas que la caja $I$ y la caja $III$ tiene $30%$ menos de fichas que la caja $II$.
Entre las cajas $I$ y $III$ hay $4920$ fichas en total.
La cantidad total de fichas $A$ y $R$ es igual a la cantidad de fichas que hay en la caja $III$.
Las fichas $B$ se reparten en partes iguales entre las tres cajas.
Las fichas $N$ se reparten en partes iguales entre las tres cajas.
En las cajas $I$ y $III$ hay igual cantidad de fichas $A$.
En la caja $II$ la cantidad de fichas $R$ es $60%$ de la cantidad de fichas $A$.
Entre las fichas $A$, $R$ y $N$ hay un total de $6300$.
La cantidad total de fichas $R$ es $\frac{2}{3}$ de la cantidad total de fichas $A$.
¿Cuántas fichas hay en cada caja?
¿Cuántas fichas hay en total de cada tipo?
¿Cuántas fichas $R$ hay en cada caja?
Problema 2
En la figura:
n3 nac 2018 p2.jpg
$A$, $B$ y $C$ son puntos de la circunferencia de centro $O$,
$SR$ es perpendicular a $AB$,
$CR$ es paralela a $AB$,
$AS=SR$.
La longitud de la circunferencia es de $50\pi \text{ cm}$.
La altura del triángulo $AOB$ correspondiente al lado $AB$ es de $7\text{ cm}$.
¿Cuál es el perímetro y cuál es el área de $AOCB$?
¿Cuál es el perímetro y cuál es el área de $OCRB$?
¿Cuál es el perímetro y cuál es el área de $AOBS$?
Problema 3
En este tablero se quieren escribir los números naturales del $1$ al $16$.$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
8 & & & 14 \\
\hline
& & 3 & \\
\hline
& 12 & 13 & \\
\hline
10 & 11 & 6 & 4 \\
\hline
\end{array}$$Completa el tablero con los números que faltan de modo que:
- las $4$ sumas de los números de cada fila,
- las $4$ sumas de los números de cada columna y
- las $2$ sumas de los números de cada diagonal
sean $10$ números consecutivos.
Da todas las posibilidades. Explica por qué no hay otras.
Problema 4
Dos hermanos reciben de regalo $34$ cubos de oro macizo.
Siete de los cubos tienen aristas de $1\text{ cm}$, once de ellos tienen aristas de $2\text{ cm}$, nueve de ellos tienen aristas de $3\text{ cm}$ y los restantes tienen aristas de $4\text{ cm}$.
Sin cortarlos, se reparten estos cubos de modo que los dos hermanos tienen la misma cantidad de oro.
¿De cuántas maneras pueden hacerlo? Explica cómo las contaste.
Problema 5
En la figura:
n3 nac 2018 p5.jpg
el triángulo $ABC$ es rectángulo e isósceles,
$AE=EF=FD=DC$,
$\angle ADC=144°$.
¿Cuánto mide $\angle AEF$?
¿Cuánto mide $\angle EFD$?
¿Cuánto mide $\angle BCD$?
Problema 6
Claudia tiene $25$ tarjetas que tienen una cara verde y una cara roja.
Cada tarjeta tiene escrito el mismo número en ambas caras.
Las tarjetas están colocadas, con la cara verde hacia arriba, en un cuadrado de $5\times 5$ como muestra la figura.$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline
11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
\hline
16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\
\hline
21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\
\hline
\end{array}$$Las operaciones permitidas son:
- Elegir una tarjeta que no esté en el borde y dar vuelta sus cuatro tarjetas vecinas.
- Elegir una tarjeta que esté en una esquina y dar vuelta esa tarjeta y sus tres vecinas.
- Elegir una tarjeta del borde que no sea una esquina y dar vuelta las dos tarjetas vecinas del borde.
a) ¿Puede mediante estas operaciones permitidas lograr que todas las tarjetas excepto la número $13$ queden con la cara roja hacia arriba?
En caso afirmativo, da la secuencia de tarjetas que va eligiendo.
En caso negativo, explica por qué no es posible.
b) ¿Puede mediante estas operaciones permitidas lograr que todas las tarjetas queden con la cara roja hacia arriba?
En caso afirmativo, da la secuencia de tarjetas que va eligiendo.
En caso negativo, explica por qué no es posible.