Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Torneo de las Ciudades • Torneo de las ciudades 2015-2016 • Marzo 2016 • Nivel Mayor


Problema 1
Todos los enteros desde $1$ a $1000000$ se escriben en una cinta en orden arbitrario. Luego, la cinta se corta en partes de forma que cada parte contiene dos dígitos consecutivos. Demostrar que las partes contienen todos los enteros de dos dígitos, sin importar el orden inicial de los números.

Problema 2
Dividir un cuadrado de lado $10$ en $100$ cuadriláteros congruentes de modo que cada uno esté inscrito en una circunferencia de diámetro $\sqrt{3}$.

Problema 3
Sea $M$ el punto medio de la base $AC$ del triángulo isósceles $ABC$. Se eligen los puntos $E$ y $F$ en los lados $AB$ y $BC$ respectivamente de forma que $AE\neq CF$ y $\angle FMC=\angle MEF=\alpha$.
Hallar el valor de $\angle AEM$.

Problema 4
En un país hay $64$ ciudades, algunos pares de ciudades están conectadas mediante caminos, pero no se sabe cuáles son estos pares. La operación permitida es elegir un par de ciudades y preguntar si están conectadas o no (la respuesta siempre será verdadera). El objetivo es averiguar si es posible viajar de cualquier ciudad a cualquier otra mediante una secuencia de caminos.
Demostrar que es imposible cumplir el objetivo con menos de $2016$ operaciones permitidas.

Problema 5
En el pizarrón hay escritos varios polinomios de grado $37$, cada uno con su coeficiente principal igual a $1$. Inicialmente todos los coeficientes son no negativos. Una movida consiste en elegir dos polinomios $f,g$ y reemplazarlos por los polinomios $f_1,g_1$ de forma que $f_1+g_1=f+g$ o $f_1g_1=fg$.
Demostrar que es imposible después de algunas movidas lograr que cada polinomio tenga $37$ raíces positivas distintas.

Problema 6
Un palíndromo es una palabra que se lee igual izquierda a derecha y de derecha a izquierda.

(a) Se tiene una cantidad infinita de cartas con las palabras $\{abc,bca,cab\}$. Se forma una palabra de la siguiente manera: Inicialmente se toma una carta cualquiera, luego, en cada paso se agrega una carta entre cualesquiera dos letras de la palabra o en alguno de los extremos de la misma.
¿Es posible obtener un palíndromo mediante este procedimiento?

(b) Se tiene una cantidad infinita de cartas rojas con las palabras $\{abc,bca,cab\}$, y una cantidad infinita de cartas azules con las palabras $\{cba,acb,bac\}$. Se forma un palíndromo siguiendo el mismo procedimiento que en (a).
¿Es necesariamente cierto que se usaron la misma cantidad de cartas rojas que azules?

Problema 7
Un planeta esférico tiene su ecuador de longitud $1$. Se quieren construir $N$ vías circulares de longitud $1$ para que $N$ trenes circulen por ellas. Los trenes deben tener la misma velocidad (constante y positiva), y nunca deben detenerse o chocar entre ellos. Cada tren es un arco de ancho $0$ sin sus extremos.
Hallar la mayor suma posible de las longitudes de los trenes si
a) $N=3$.
b) $N=4$.