Problema 1
Una progresión geométrica está formada por $37$ enteros positivos. El primer y el último término son coprimos. Demostrar que el término en la posición $19$ es de la forma $a^{18}$ para algún entero positivo $a$.
Problema 2
Un tablero cudriculado de $10\times 10$ se divide en $20$ polígonos de igual área mediante $80$ de los lados de los cuadraditos, de forma que ninguno de los lados está sobre el borde del tablero.
Demostrar que todos los polígonos son congruentes.
Problema 3
Sea $P$ un polinomio tal que cada coeficiente de $P$ es un entero con valor absoluto menor o igual a $2015$.
Demostrar que las raíces positivas de $P$ son mayores a $\frac{1}{2016}$.
Problema 4
Sen $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, $K$ y $N$ los puntos medios de sus diagonales, $P$ el punto de intersección de las prolongaciones de los lados $AB$ y $CD$, y $Q$ el punto de intersección de las prolongaciones de los lados $AD$ y $BC$.
Demostrar que $\angle PKQ+\angle PNQ=180°$.
Problema 5
Se tienen varios números reales distintos escritos en un pizarrón. Pedro quiere escribir una expresión algebraica tal que tome exactamente los valores escritos en el pizarrón. Puede usar cualquier número real, paréntesis, los signos $+$, $-$, $\times$ y un signo especial, $\pm$. Usar $\pm$ es equivalente a usar $+$ y $-$ en todas sus posibles combinaciones. Por ejemplo, la expresión $5\pm 1$ tiene como resultado $\{4,6\}$, mientras que $(2\pm 0,5)\pm 0,5$ tiene como resultado $\{1,2,3\}$.
Decidir si Pedro puede lograr su objetivo si en el pizarrón están escritos
a) los números $1$, $2$, $4$.
b) $100$ números reales distintos.
Problema 6
Beto tiene un melón esférico de diámetro $20$ al que le hace tres cortes perpendiculares, cada uno de profundidad $h$.
Decidir si es cierto que el melón se rompe en dos o más partes si
a) $h=17$.
b) $h=18$.
Problema 7
Hay $N$ niños de alturas distintas parados en una línea recta. Se aplica el siguiente procedimiento: primero, la línea se separa en la menor cantidad de grupos posibles de forma que en cada grupo los niños estén ordenados de menor a mayor de izquierda a derecha (un grupo puede ser de un sólo niño). Después, el orden de los niños en cada grupo se invierte, de forma que ahora están ordenados de mayor a menor de izquierda a derecha en cada grupo.
Demostrar que al aplicar $N-1$ veces este procedimiento, todos los niños de la línea están ordenados de mayor a menor de izquierda a derecha.