Problema 1
Hallar todos los enteros positivos $n$ y $m$ tales que el número racional $$\frac{n^2+2n-3}{2^m}$$ sea un entero impar.
Problema 2
Dado el rectángulo $ABCD$, por un punto $P$ de la diagonal $BD$ se trazan paralelas a sus lados que los cortan en los puntos $E$, $F$, $G$ y $H$ pertenecientes, respectivamente, a los lados $AB$, $AD$, $BC$ y $CD$. Determine el punto $P$ tal que la relación entre las áreas de los rectángulos $AEPF$ y $PGCH$, en algún orden, sea $\frac{5}{4}$.
Problema 3
Determine todas las ternas $(a,b,c)$ de primos positivos tales que el polinomio cuadrático $aX^2+bX+C$ sea reducible en $\mathbb{Q}[X]$, donde $\mathbb{Q}$ denota el cuerpo de números racionales.
Problema 4
Halle la distancia mínima entre el punto $(14,1)$ y la parábola $y=x^2$.
Problema 5
¿Es el número $\dfrac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ un natural primo o compuesto?
Problema 6
Para cada natural $k$ sea $N(k)$ el entero con $k$ dígitos todos iguales a $1$ (por ejemplo, $N(2)=11$, $N(3)=111$, $N(4)=1111$, $\ldots$). Pruebe que cada número natural $n>1$ coprimo con $10$ divide a una infinidad de términos de la sucesión $\{N(k)\}_{k\in \mathbb{N}}$.
Problema 7
Dado un triángulo isósceles de lados $a$, $b$ y $c$, $b=c$, que verifica$$\frac{a}{b}=\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$determine los ángulos del triángulo.
Problema 8
Halle para cada natural $n$ el valor $P_n$ del producto $$\prod \limits _{k=0}^n\cos \left (2^k\frac{\pi}{3}\right )$$
Problema 9
Se arrojan al mismo tiempo y repetidamente una moneda equilibrada con caras $A$, $B$ y un dado regular con caras numeradas de $1$ a $6$. Se dice que un lanzamiento es un éxito si sale la cara $A$ y alguno de los valores $3$ ó $5$ en el dado.
Calcule la probabilidad de que haya que realizar $10$ lanzamientos y no menos para obtener $3$ éxitos.
Problema 10
Halle las $4$ raíces del polinomio $X^4-3X-2$.