Archivo de Enunciados • Competencias de otros países • Uruguay • Selectivo Cono Sur • 2019


Problema 1
$A$ y $B$ juegan con un montón de $2019$ fichas, por turnos.
En cada turno se permite quitar una cantidad de fichas que sea divisor de la cantidad de fichas del montón.
Pierde quien quita la última ficha.
Si $A$ juega primero, ¿quién tiene estrategia ganadora?

Problema 2
En el triángulo isósceles $ABC$ con $AB=AC$, se toma $D$ punto medio de $AC$ y $F$ en la semirrecta opuesta a $BC$ de forma tal que $BF=AD$. La recta $DF$ corta a $AB$ en $G$.
Calcular la razón entre las áreas de los triángulos $AGC$ y $GBC$.

Problema 3
Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $ab$ es divisible por $2c$, $bc$ es divisible por $3a$ y $ca$ es divisible por $5b$.
Encuentra el menor valor posible de $abc$.

Problema 4
Una lista infinita de números naturales comienza con $9$. El siguiente al centésimo número es $609$. Se sabe que cada número, salvo el primero, es el promedio de los dos adyacentes a él, el anterior y el que sigue.
a) ¿$2019$ está en esa lista de números?
b) ¿Cuántas parejas de números distintos, contenidos en la lista, suman $4038$?