Archivo de Enunciados • Competencias Internacionales • Mayo • 2019 • Nivel 2


Problema 1
Un entero positivo es piola si los $9$ restos que se obtienen al dividirlo entre $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ y $10$ son todos diferentes y distintos de cero. ¿Cuántos enteros piolas hay entre $1$ y $100000$?

Problema 2
Se tiene un tablero con $2020$ casillas en la fila inferior y $2019$ en la superior, ubicadas como se muestra en la figura.

En la fila inferior se colocan los números enteros del $1$ al $2020$ en algún orden. Luego en cada casilla de la fila superior se anota la multiplicación de los dos números que tiene debajo. ¿Cómo se pueden colocar los números en la fila inferior para que la suma de los números de la fila superior sea lo menor posible?

Imagen

Problema 3
En los lados $AB$, $BC$ y $CA$ de un triángulo $ABC$ se ubican los puntos $P$, $Q$ y $R$ respectivamente, tales que $BQ=2QC$, $CR=2RA$ y $\angle PRQ = 90°$. Demostrar que $\angle APR = \angle RPQ$.

Problema 4
Encontrar el menor número entero positivo $N$ de dos o más dígitos que tiene la siguiente propiedad: Si insertamos cualquier dígito no nulo $d$ entre cualesquiera dos dígitos adyacentes de $N$ obtenemos un número que es múltiplo de $d$.

Problema 5
Consideramos los $n$ vértices de un polígono regular de $n$ lados. Se tiene un conjunto de triángulos con vértices en estos $n$ puntos con la propiedad que para cada triángulo del conjunto, al menos uno de sus lados no es lado de ningún otro triángulo del conjunto. ¿Cuál es la mayor cantidad de triángulos que puede tener el conjunto?