Problema 1
Se tiene un triángulo $ABC$ y $M$ es el punto medio del lado $BC$. Se sabe que en el segmento $AC$ se puede marcar un punto $E$ tal que $BE \geq 2AM$, con $E$ distinto de $A$ y de $C$. Demostrar que el triángulo $ABC$ es obtusángulo.
Problema 2
En una isla con $2018$ habitantes cada persona es un caballero, un mentiroso o un conformista. Todo el mundo sabe lo que es cada habitante de la isla. Un día todos los habitantes de la isla formaron una fila y, por turnos, siguiendo el orden de la fila, cada persona respondió (por sí o por no) la pregunta "¿Entre los habitantes de esta isla, hay más caballeros que mentirosos?". Todos escuchan todas las respuestas anteriores a la suya. Los caballeros dicen siempre la verdad, los mentirosos siempre mienten y cada conformista responde lo que han dicho la mayoría de los que están antes que él en la fila. En caso de que antes de él haya igual número de respuestas "Sí" y "No", el conformista elige una de ellas al azar. Al terminar de responder los $2018$ de la fila hubo exactamente $1009$ respuestas "Sí". Determinar la mayor cantidad posible de conformistas que puede haber entre los habitantes de la isla.
Problema 3
Hay que escribir un número de la forma $77\ldots 7$ que utiliza exclusivamente dígitos $7$. Se permite usar operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, paréntesis y usar cualquier cantidad de $7$ en una fila. Determinar si existe algún número de la forma $77\ldots 7$ que se pueda expresar usando una cantidad menor de dígitos $7$ que en su formato original.
Por ejemplo, la manera de expresar el número $77$ es simplemente $77$ y no hay ninguna más breve.
Problema 4
Un tablero de $7\times7$ puede estar vacío o contener una pieza cuadrada invisible de $2\times2$ que cubra exactamente $4$ casillas del tablero. En cada casilla del tablero se puede colocar un chip que al encenderse indica si esa casilla está o no cubierta por la pieza. Todos los chips colocados sobre el tablero se encienden en el mismo instante. Determinar el menor número de chips que se necesita para saber con certeza si la pieza está presente en el tablero y, de estarlo, cuál es su ubicación exacta.
Problema 5
Un trapecio isósceles $ABCD$, con $AD\parallel BC$, está inscrito en una circunferencia de centro $O$. La recta $BO$ corta al segmento $AD$ en $E$. Sea $P$ el centro de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $E$, y sea $Q$ el centro de la circunferencia que pasa por $B$, $D$ y $E$. Demostrar que los puntos $P$, $Q$, $O$ y $C$ están en una misma circunferencia.
Problema 6
Demostrar que
a) Todo entero de la forma $3k-2$, con $k$ entero, es igual a la suma del cuadrado de un número entero más los dos cubos de dos números enteros.
b) Todo entero es igual a la suma del cuadrado de un número entero más los tres cubos de tres números enteros.
Problema 7
En un mundo virtual hay $n\geq 2$ ciudades. Algunos pares de ciudades están conectadas por caminos (entre dos ciudades hay como máximo un camino). Recorriendo estos caminos, es posible llegar a cualquier ciudad desde cualquier otra. Sólo se puede cambiar de un camino a otro cuando se llega a una ciudad. El mundo se llama
simple si es imposible salir de una ciudad y regresar a la misma sin pasar dos veces por un mismo camino. De no ser así, el mundo se denomina
complicado.
Ana y Beto juegan al siguiente juego. Al comienzo, Ana elige una única dirección en cada camino de modo que el camino sólo pueda ser recorrido en esa dirección, y ubica un turista en una de las ciudades. En cada turno, Ana mueve al turista a lo largo de un camino en la dirección permitida hasta una ciudad vecina. En su turno, Beto cambia la dirección permitida de un camino que sale de- o llega a la ciudad donde se encuentra el turista en ese momento. Beto gana si en algún momento Ana no puede hacer una movida.
Demostrar que
a) En un mundo
simple, Ana puede evitar perder, sin importar cómo juegue Beto.
b) En un mundo
complicado, Beto puede garantizar su victoria, sin importar cómo juegue Ana.