Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Nacional • 2018 • Nivel 3


Problema 1
Sea $p$ un número primo y $r$ el resto de la divisón de $p$ por $210$. Se sabe que $r$ es un número compuesto y que se puede escribir como suma de dos cuadrados perfectos distintos de cero. Hallar todos los primos menores que $2018$ que satisfacen estas condiciones.

Problema 2
Hay $n$ caballeros numerados de $1$ a $n$ y una mesa redonda con $n$ sillas. El primer caballero elige su silla, y a partir de él, el caballero número $k+1$ se sienta $k$ lugares a la derecha del caballero número $k$, para todo $1\leq k\leq n-1$ (se cuentan sillas ocupadas y vacías). En particular, el segundo caballero se sienta al lado del primero. Hallar todos los valores de $n$ para que los $n$ caballeros ocupen las $n$ sillas siguiendo el procedimiento descripto.

Problema 3
Se tiene un tablero de $7\times 7$ dividido en $49$ casillas. Mateo coloca una moneda en una casilla.
a) Demostrar que Mateo puede colocar la moneda de modo que a Emi le resulte imposible cubrir completamente las $48$ casillas restantes, sin huecos ni superposiciones, utilizando $15$ rectángulos de $3\times 1$ y un codo de tres casillas, como los de la figura.
Nacional 2018 N3 P3 Figura.jpg
b) Demostrar que no importa en qué casilla coloque Mateo la moneda, Emi siempre podrá cubrir las $48$ casillas restantes usando $14$ rectángulos de $3\times 1$ y dos codos de tres casillas.

Problema 4
Se tiene un tablero cuadriculado de $50\times 50$. Carlos va a escribir un número en cada casilla con el siguiente procedimiento. Elige primero $100$ números distintos que denotamos $f_1,f_2,f_3,\dots,f_{50},c_1,c_2,c_3,\dots,c_{50}$ entre los cuales hay exactamente $50$ que son racionales. A continuación escriben en cada casilla $(i,j)$ el número $f_i. c_j$ (la multiplicación de $f_i$ por $c_j$). Determinar la máxima cantidad de números racionales que pueden contener las casillas del tablero.

Problema 5
En el plano se tiene $2018$ puntos entre los que no hay tres en una misma recta. Se colorean estos puntos con $30$ colores de modo que no haya dos colores que tengan la misma cantidad de puntos. Se forman todos los triángulos con sus tres vértices de distinto color. Determinar la cantidad de puntos de cada uno de los $30$ colores para que el número total de triángulos con los tres vértices de distinto color sea lo más grande posible.

Problema 6
Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una circunferencia interior del $ABCD$ es tangente a las rectas $AB$ y $AD$ y corta a la diagonal $BD$ en $E$ y $F$. Demostrar que existe una circunferencia que pasa por $E$ y $F$ y es tangente a las rectas $CB$ y $CD$.