Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Regional • 2018 • Nivel 2


Problema 1
Se tiene un tablero de $2$ filas y $99$ columnas con dos casillas negras, como en la figura. En las casillas blancas de este tablero están escritas en la primera fila, todos los números enteros desde $1$ hasta $99$ en orden creciente de izquierda a derecha, y en la segunda fila, todos los números enteros desde $100$ hasta $196$, en orden creciente de derecha a izquierda.

Imagen

Se consideran las $97$ parejas de números que están en una misma columna, uno arriba del otro.
Determinar todas las parejas en las que el número de la segunda fila es múltiplo del número de la primera fila.

Problema 2
Se consideran los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ y $9$. Para cada ordenamiento $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ de ellos se forman tres números de tres cifras cada uno y se calcula su suma: $S=abc+def+ghi$. Por ejemplo, para el ordenamiento $8, 3, 5, 1, 4, 2, 9, 7, 6$ la suma es $S=835+142+976=1953$.
Entre todas las sumas $S$ que terminan en $5$, determinar el menor valor que puede alcanzar $S$ y hallar la cantidad de ordenamientos para los que ocurre ese valor.

Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo es isósceles con $\widehat C=90^\circ$. Consideremos $P$ en la recta $BC$, con $B$ entre $C$ y $P$, y $Q$ en la recta $AB$, con $A$ entre $B$ y $Q$, tales que $BP=AQ$. Sea $R$ en la recta $AC$, con $C$ entre $A$ y $R$, tal que $P\widehat QR=45^\circ$. Determinar la medida del ángulo $P\widehat RQ$.