Problema 1
En una hoja hay marcados $100$ puntos en dos líneas horizontales, como se muestra en la figura. En cada horizontal, la distancia entre dos puntos vecinos es igual a $1$. La distancia entre los dos puntos de cada vertical también es igual a $1$.
Se deben elegir tres puntos marcados de modo que el triángulo que forman sea isósceles. Determinar de cuántas maneras se puede hacer la elección.$$\underbrace{\begin{array}{ccccccc}
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & ----- & \bullet & \bullet \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & ----- & \bullet & \bullet
\end{array}}_{50}$$
Problema 2
En cada casilla de un tablero de
[math]4 filas y
[math]k columnas hay escrito un número entero positivo. En cada columna la suma de los
[math]4 números es igual a
[math]30. Los
[math]k números de cada fila son distintos. Hallar el máximo número posible
[math]k de columnas que puede tener el tablero.
Dar un tablero con esa cantidad de columnas y explicar por qué no puede tener más columnas.
Problema 3
Sean
[math]ABCDEF un hexágono regular y
[math]P el punto medio del lado
[math]AB. El segmento
[math]PE corta a la diagonal
[math]CF en
[math]Q y el segmento
[math]PD corta a la diagonal
[math]CF en
[math]R.
Calcular
[math]\frac{\text{área}(DEQR)}{\text{área}(FPQ)}.