Problema 1
Decimos que una
[math]5-tupla de números enteros es
acomodable si sus elementos pueden ser etiquetados
[math]a,b,c,d,e en algún orden de manera que
[math]a-b+c-d+e=29. Determinar todas las
[math]2017-tuplas de números enteros
[math]n_1,n_2,...,n_{2017} tales que si los colocamos alrededor de una circunferencia en sentido horario, toda
[math]5-tupla de números en posiciones consecutivas en la circunferencia es acomodable.
Problema 2
Sea
[math]ABC un triángulo tal que
[math]AB<AC. Sea
[math]D el punto de intersección entre la bisectriz interior de
[math]\angle{BAC} y el circuncírculo de
[math]ABC. Sea
[math]Z el punto de intersección entre la mediatriz de
[math]AC y la bisectriz exterior de
[math]\angle{BAC}.
Probar que el punto medio del segmento
[math]AB está sobre el circuncírculo del triángulo
[math]ADZ.
Problema 3
Sea
[math]A(n) la cantidad de sucesiones
[math]a_1\geq{}a_2\geq{}...\geq{}a_k de enteros positivos tales que
[math]a_1+a_2+...+a_k=n y cada
[math]a_i+1 es una potencia de dos
[math](i=1,2,...,k). Sea
[math]B(n) la cantidad de sucesiones
[math]b_1\geq{}b_2\geq{}...\geq{}b_m de enteros positivos tales que
[math]b_1+b_2+...+b_m=n y se cumple la desigualdad
[math]b_j\geq{2b_{j+1}} para todo
[math]j=1,2,...,m-1.
Demostrar que
[math]A(n)=B(n).
Problema 4
Decimos que un número racional
[math]r es
poderoso si
[math]r se puede expresar de la forma
[math]\frac{p^k}{q} para algunos enteros positivos coprimos
[math]p y
[math]q y algún entero
[math]k>1. Sean
[math]a,b,c racionales positivos tales que
[math]abc=1. Supongamos que existen enteros positivos
[math]x,y,z tales que
[math]a^x+b^y+c^z es un entero. Probar que
[math]a,b,c son todos poderosos.
Problema 5
Sea
[math]n un entero positivo. Un par de
[math]n-tuplas
[math](a_1,a_2,...,a_n) y
[math](b_1,b_2,...,b_n) con entradas enteras forman un
par exquisito si
[math]|a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n|\leq{1}.
Determinar el máximo numero de
[math]n-tuplas distintas con entradas enteras tales que cualesquiera dos de ellas forman un par exquisito.