Competencias de Argentina • Selectivo de IMO • 2017


Problema 1
Ana y Bea juegan un juego. En cada turno, Ana reemplaza un asterisco de la expresión
$* * * * * * * * *$

por uno de los dígitos $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ que no haya sido usado hasta ese momento. Bea, en su turno, reemplaza dos asteriscos con dos dígitos que aún no se hayan usado. Ana comienza el juego y las dos jugadoras se alternan con sus turnos. Bea gana si el número final de $9$ dígitos es un múltiplo de $27$. En caso contrario, gana Ana. ¿Cuál de las dos jugadoras tiene una estrategia que le permita asegurarse la victoria?

Problema 2
Hallar todos los números naturales $n$ tales que los cinco números
$n \, , \quad n^2+10 \, , \quad n^2-2 \, , \quad n^3+6 \, , \quad n^5+36$

sean todos números primos.

Problema 3
La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ es tangente a $BC,AC,AB$ en los puntos $D,E,F$ respectivamente. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Supongamos que la recta $EF$ corta a las rectas $BI,CI,BC,DI$ en los puntos $K,L,M,Q$ respectivamente. Si la recta que pasa por el punto medio de $CL$ y por $M$ corta a $CK$ en $P$, demostrar que $PQ = \frac{AB \cdot KQ}{BI}$.

Problema 4
Hay una colección de números enteros positivos distintos escritos en el pizarrón. Su promedio es un número decimal con la parte decimal exactamente igual a la de $0,3168$. Determinar cuál es el menor valor posible del promedio.

Problema 5
Se tiene un tablero de $(2n+1) \times (2n+1)$, $n$ entero, con todas sus casillas blancas. En cada movida, se puede cambiar el color de cualesquiera $3$ casillas consecutivas en una fila o columna (las blancas se reemplazan por negras y viceversa). Hallar todos los posibles valores de $n$ tales que, mediante las movidas, se pueda obtener la coloración de un tablero de ajedrez, con todas las esquinas negras.

Problema 6
Hallar todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ que satisfacen
$f(yf(x)-x)=f(x)f(y)+2x$
para todos $x,y \in \mathbb R$.


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