Problema 1
Determine todos los números primos positivos
[math]p,q,r,k tales que
[math]pq+qr+rp = 12k+1.
Problema 2
Encuentre todas las soluciones reales positivas del sistema de ecuaciones:
[math]x= \frac{1}{y^2+y-1}
[math]y= \frac{1}{z^2+z-1}
[math]z= \frac{1}{x^2+x-1}
Problema 3
Sea
[math]ABC un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es
[math]\Gamma. Las tangentes a
[math]\Gamma por
[math]B y
[math]C se cortan en
[math]P. Sobre el arco
[math]AC que no contiene a
[math]B se toma un punto
[math]M, distinto de
[math]A y de
[math]C, tal que la recta
[math]AM corta a la recta
[math]BC en
[math]K. Sean
[math]R el punto simétrico de
[math]P con respecto a la recta
[math]AM y
[math]Q el punto de intersección de las rectas
[math]RA y
[math]PM. Sean
[math]J el punto medio de
[math]BC y
[math]L el punto donde la recta paralela por
[math]A a la recta
[math]PR corta a la recta
[math]PJ. Demuestre que los puntos
[math]L,
[math]J,
[math]A,
[math]Q y
[math]K están sobre una misma circunferencia.
Problema 4
Determine la mayor cantidad de alfiles que se pueden colocar en un tablero de ajedrez de $8\times 8$. tal que no haya dos alfiles en la misma casilla y cada alfil sea amenazado como máximo por uno de los otros alfiles.
Nota: Un alfil amenaza a otro si ambos se encuentran en dos casillas distintas de una misma diagonal. El tablero tiene por diagonales las $2$ diagonales principales y las paralelas a ellas.
Problema 5
Las circunferencias
[math]C_1 y
[math]C_2 se cortan en dos puntos distintos
[math]A y
[math]K. La tangente común a
[math]C_1 y
[math]C_2 más cercana a
[math]K toca a
[math]C_1 en
[math]B y a
[math]C_2 en
[math]C. Sean
[math]P el pie de la perpendicular desde
[math]B sobre
[math]AC, y
[math]Q el pie de la perpendicular desde
[math]C sobre
[math]AB. Si
[math]E y
[math]F son los puntos simétricos de
[math]K respecto de las rectas
[math]PQ y
[math]BC, respectivamente, pruebe que los puntos
[math]A,
[math]E y
[math]F son colineales.
Problema 6
Sean $k$ un entero positivo y $a_1,a_2,\ldots ,a_k$ dígitos. Pruebe que existe un entero positivo $n$ tal que los últimos $2k$ dígitos de $2^n$ son, en este orden, $a_1,a_2,\ldots ,a_k,b_1,b_2,\ldots ,b_k$, para ciertos dígitos $b_1,b_2,\ldots ,b_k$.